Cosinus Funktion ableiten


Ableitungsrechner

Der Ableitungsrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich Ableiten und noch viel mehr. Um zum Beispiel die Funktion \(f(x)=cos(x)\) abzuleiten, kannst du die Funktion in das Eingabefeld eingeben. Dann kannst du auf ableiten drücken und du erhälts die Ableitung deiner Cosinusfunktion. Teste den Rechner aus.



Cosinusfunktion ableiten

\(\begin{aligned} f(x)&=cos(x)\\ \\ f'(x)&=-sin(x) \end{aligned}\)


Wie leitet man die Cosinus Funktion ab?

Die Ableitung vom Cosinus ist sehr einfach, denn die Ableitung der Cosinus Funktion ergibt die minus Sinusfunktion, dass kann man sich sehr leicht merken. Wenn jedoch im Argument vom Cosinus nicht nur ein \(x\) steht z.B \(cos(x+2)\), so muss man die Kettenregel anwenden.

Regel:

Cosinus ableiten

Die Ableitung vom Cosinus ergibt die Minus Sinus Funktion.

Ableitung von \(f(x)=cos(x)\) ergibt:


\(f'(x)=-sin(x)\)

Beispiel 1

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=cos(2x)\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=cos(x)\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{-sin(2x)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=-2\cdot sin(2x)\)

Beispiel 2

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=cos(2x+1)\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=cos(x)\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x+1\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{-sin(2x+1)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=-2\cdot sin(2x+1)\)

Merke

Beim Ableiten der Cosinusfunktion hat man es in den meisten Fällen mit einer Verkettung zu tun. Bei der Ableitung einer verketteten Cosinusfunktion muss man stets die Kettenregel anwenden. Oft wir die Kettenregel auch als "Äußere mal Innere Ableitung" bezeichnet.


Beispiel 3

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=cos(x^2)\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=cos(x)\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^2\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{-sin(x^2)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=-2x\cdot sin(x^2)\)

\(f'(x)=\underbrace{2x}_{\text{innere abgeleiten}} \cdot \underbrace{\big(-sin(x^2)\big)}_{\text{äußere abgeleiten}}\)


Beispiel 4

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=cos(x^2+x)\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=cos(x)\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^2+x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{-sin(x^2+x)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x+1}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=-(2x+1)\cdot sin(x^2+x)\)

\(f'(x)=\underbrace{(2x+1)}_{\text{innere abgeleiten}}\cdot \underbrace{\big(-sin(x^2+x)\big)}_{\text{äußere abgeleiten}}\)


Allgemeines zur Cosinusfunktion

Die Cosinusfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen welche oft auch als Winkelfunktionen bezeichnet werden. Die Trigonometrie ist eine Lehre, die sich mit Längen und Winkeln in Dreiecken beschäftigt. Doch nicht nur dort kommt die Cosinusfunktion zum Einsatz. Sowohl der Sinus als auch der Kosinus gehören zu den elementaren Funktionen der Mathematik. Sie werden unter anderem auch in der Analysis gebraucht und sind in der Physik, insbesondere im Gebiet der Wellen und Schwingungen allgegenwärtig.