e Funktion ableiten


Ableitungsrechner

Der Ableitungsrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich Ableiten und noch viel mehr. Um zum Beispiel die Funktion \(f(x)=e^x\) abzuleiten, geh auf den knopf \(\frac{df}{dx}\) und gib \(e^x\) ein. Dann kannst du auf lösen drücken und du erhälts die Ableitung deiner Funktion. Teste den Rechner aus.



e-Funktion ableiten

\(\begin{aligned} f(x)&=e^x\\ \\ f'(x)&=e^x \end{aligned}\)





Wie leitet man eine Exponential Funktion ab?

Die Ableitung einer Exponential Funktion ist sehr einfach, denn die Ableitung der e-Funktion ergibt wieder die e-Funktion, dass kann man sich sehr leicht merken. Wenn jedoch im Exponenten nicht nur ein \(x\) steht, so muss man die Kettenregel anwenden.

Regel:

e-Funktion ableiten

Die Ableitung der e-Funktion ergibt wieder die e-Funktion.

Ableitung von \(f(x)=e^x\) ergibt:


\(f'(x)=e^x\)

Beispiel 1

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=e^{2x}\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=e^x\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{e^{2x}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=2\cdot e^{2x}\)

Beispiel 2

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=e^{2x+2}\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=e^x\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x+2\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{e^{2x+2}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=2\cdot e^{2x+2}\)

Merke

In den meisten Fällen hat man es bei einer Exponential Funktion mit einer Verkettung zu tun. Bei der Ableitung einer verketteten Exponential Funktion muss man stets die Kettenregel anwenden. Die Kettenregel wird oft als "Äußere mal Innere Ableitung" bezeichnet.

Man kann sich merken:

Bei der Ableitung einer verketteten e-Funktion muss man die gegebene Funktion hinschreiben und dann mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.


Beispiel 3

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=e^{x^2}\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=e^x\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^2\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{e^{x^2}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=2x\cdot e^{x^2}\)

\(f'(x)=\underbrace{2x}_{\text{innere abgeleiten}} \cdot \underbrace{e^{x^2}}_{f(x)\text{ hingeschrieben}}\)


Beispiel 4

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=e^{x^2+x}\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=e^x\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^2+x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{e^{x^2+x}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x+1}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=(2x+1)\cdot e^{x^2+x}\)

\(f'(x)=\underbrace{(2x+1)}_{\text{innere abgeleiten}}\cdot \underbrace{e^{x^2+x}}_{f(x)\text{ hingeschrieben}}\)






Allgemeines zur Exponential Funktion

Funktionen der Form \(f(x)=a^x\) nennt man Exponentialfunktion. Bei solchen Funktionen steht im Exponenten die Funktionsvariable \((x)\) und in der Basis \((a)\) steht eine konstante.

Die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion mit der Basis \(a\approx 2,718\). Diese spezielle Basis wird Eulersche Zahl genannt und wird in der Mathematik mit dem Buchstaben \(e\) abgekürzt.

Die Eulersche Zahl

Die Eulersche Zahl wird mit dem Buchstaben \(e\) bezeichnet und spielt in vielen Bereichen der Mathematik eine wichtige Rolle.

\(e=2,71828...\)



Die Eulersche Zahl ist nach dem Schweizer Mathemathiker Euler benannt. Leonhard Euler wurde 1707 in Basel geboren und war ein bedeutender Wissenschaftler. Er beschäftigte sich unter anderem mit Mathematik, Physik und Astronomie.