ln(x) Funktion ableiten


Ableitungsrechner

Der Ableitungsrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich Ableiten und noch viel mehr. Um zum Beispiel die Funktion \(f(x)=ln(x)\) abzuleiten, kannst du die Funktion in das Eingabefeld eingeben. Dann kannst du auf ableiten drücken und du erhälts die Ableitung deiner Logarithmus Funktion. Teste den Rechner aus.



Logarithmus Funktion ableiten

\(\begin{aligned} f(x)&=ln(x)\\ \\ f'(x)&=\frac{1}{x} \end{aligned}\)


Wie leitet man ln(x) ab?

Die Ableitung vom ln(x) ist sehr einfach, denn die Ableitung der Logarithmusfunktion ergibt eins durch \(x\), dass kann man sich sehr leicht merken. Wenn jedoch im Argument vom ln nicht nur ein \(x\) steht z.B \(ln(x+2)\), so muss man die Kettenregel anwenden.

Regel:

ln x ableiten

Die Ableitung vom natürlichen Logarithmus ln(x) ergibt:

\(f(x)=ln(x)\)


\(f'(x)=\)\(\frac{1}{x}\)

Beispiel 1

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=ln(2x)\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=ln(x)\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{\frac{1}{2x}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=\)\(\frac{1}{x}\)

Beispiel 2

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=ln(2x+1)\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=ln(x)\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x+1\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{\frac{1}{2x+1}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=\)\(\frac{2}{2x+1}\)

Merke

Beim Ableiten der ln Funktion hat man es in den meisten Fällen mit einer Verkettung zu tun. Bei der Ableitung einer verketteten Logarithmus Funktion muss man stets die Kettenregel anwenden. Oft wir die Kettenregel auch als "Äußere mal Innere Ableitung" bezeichnet.


Beispiel 3

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=ln(x^2)\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=ln(x)\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^2\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{\frac{1}{x^2}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=\)\(\frac{2}{x}\)

\(f'(x)=\underbrace{2x}_{\text{innere abgeleiten}} \cdot \underbrace{\frac{1}{x^2}}_{\text{äußere abgeleiten}}\)


Beispiel 4

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=ln(x^2+x)\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=ln(x)\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^2+x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{\frac{1}{x^2+x}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x+1}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=\)\(\frac{2x+1}{x^2+x}\)

\(f'(x)=\underbrace{(2x+1)}_{\text{innere abgeleiten}}\cdot \underbrace{\frac{1}{x^2+x}}_{\text{äußere abgeleiten}}\)


Allgemeines zur ln Funktion

Die Logarithmus Funktion gehört zu den fundamentalen Funktionen der Mathematik. Der Logarithmus einer Zahl, liefert den Exponenten einer im vorfeld festgelegten Basis. Der Natürliche Logarithmus liefert beispielswiese den Exponente wenn die Basis gerade die Eulersche Zahl \(e=2,71828\). Dabei ist der Logarithmus nur für positive reelle Zahlen definiert.

Logarithmus Funktion

Der Logarithmus einer Zahl \(x\) zur Basis \(b\) ist der Exponent \(y\), welcher die Gleichung

\(b^y=x\)

erfüllt.

Man schreibt:

\(y=log_b(x)\)



Wie bereits erwähnt bezieht sich der Natürliche Logarithmus auf die Basis \(e\) (Eulersche Zahl). Man schreibt dann statt \(y=log_e(x)\) einfach:

\(y=ln(x)\)