Ableitung Potenzregel


Ableitungsrechner

Der Ableitungsrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich Ableiten und noch viel mehr. Um zum Beispiel die Funktion \(f(x)=x^2\) abzuleiten, geh auf den knopf \(\frac{df}{dx}\) und gib \(x^2\) ein. Dann kannst du auf Lösen drücken und du erhälts die Ableitung deiner Funktion. Teste den Rechner mit Rechenweg aus.



Potenzregel



Funktion ableiten mit der Potenzregel

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit der Potenzregel.

Bei der Potenzregel handelt es sich im eine Ableitungsregel die man benutzt um Funktionen der Form \(f(x)=x^n\) abzuleiten.

Regel:

Potenzregel

Ableitung von \(f(x)=x^n\)


\(f'(x)=n\cdot x^{n-1}\)

Dabei ist \(n\) eine beliebige Zahl.





Beispiel 1

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=x^2\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer Potenzfunktion zu tun, um genau zu sein handelt es sich um eine Parabel. Daher müssen wir die Ableitung über die Potenzregel berechnen.

Die Potenz ist hier \(\textcolor{blue}{2}\)

\(f(x)=x^{\textcolor{blue}{2}}\)

Um die Ableitung \(f'(x)\) zu erhalten, müssen wir die \(\textcolor{blue}{2}\) nach vorne ziehen und im Exponenten eine \(\textcolor{red}{1}\) abziehen.

\(\begin{aligned} f'(x)&=\textcolor{blue}{2}x^{\textcolor{blue}{2}-\textcolor{red}{1}}\\ &=2x^1\\ &=2x \end{aligned}\)

Die Ableitung lautet also:

\(f'(x)=2x\)



Beispiel 2

Wie lautet die Ableitung der folgenden Funktion

\(f(x)=2\cdot x^4 \)

Lösung:

Wir haben es hier wieder mit einer Potenzfunktion zu tun.

Die Potenz ist hier \(\textcolor{blue}{4}\)

\(f(x)=2\cdot x^{\textcolor{blue}{4}}\)

Um die Ableitung \(f'(x)\) zu erhalten, müssen wir die \(\textcolor{blue}{4}\) nach vorne ziehen und im Exponenten eine \(\textcolor{red}{1}\) abziehen. Den Vorfaktor \(2\) müssen wir in der Ableitung unverändert hinschreiben. Mehr dazu gibt es im Beitrag zur Faktorregel

\(\begin{aligned} f'(x)&=\textcolor{blue}{4}\cdot 2x^{\textcolor{blue}{4}-\textcolor{red}{1}}\\ &=8x^3 \end{aligned}\)

Die Ableitung lautet also:

\(f'(x)=8x^3\)



Beispiel 3

Berechne die Steigung der Funktion

\(f(x)=x\)

Lösung:

Um die Steigung der Funktion zu erhalten müssen wir die Ableitung berechnen. In dem Fall haben wir es ebenfalls mit einer Potenzfunktion zu tun. Es handelt sich um eine Lineare Funktion.

Die Potenz ist hier \(\textcolor{blue}{1}\)

\(f(x)=x^{\textcolor{blue}{1}}\)

Um die Ableitung \(f'(x)\) zu erhalten, müssen wir die \(\textcolor{blue}{1}\) nach vorne ziehen und im Exponenten eine \(\textcolor{red}{1}\) abziehen.

\(f'(x)=\textcolor{blue}{1}x^{\textcolor{blue}{1}-\textcolor{red}{1}}\)

Die Ableitung lautet also:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\textcolor{blue}{1}\cdot\overbrace{x^{0}}^{=1}\\ &=\textcolor{blue}{1}\cdot 1\\ &=1 \end{aligned}\)

Die Ableitung der Linearen Funktion \(f(x)=x\) lautet also:

\(f'(x)=1\)

Damit hat die Funktion eine Steigung von \(1\).



Beispiel 4

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=x^{-3} \)

Lösung:

Eine Potenz kann auch negativ sein:

Die Potenz ist hier \(\textcolor{blue}{-3}\)

\(f(x)=x^{\textcolor{blue}{-3}}\)

Um die Ableitung \(f'(x)\) zu erhalten, müssen wir die \(\textcolor{blue}{-3}\) nach vorne ziehen und im Exponenten eine \(\textcolor{red}{1}\) abziehen.

\(\begin{aligned} f'(x)&=\textcolor{blue}{-3}\cdot x^{\textcolor{blue}{-3}-\textcolor{red}{1}}\\ &=-3x^{-4} \end{aligned}\)

Die Ableitung lautet also:

\(f'(x)=-3\cdot x^{-4}\)



Mit der Potenzregel kann man auch Funktionen ableiten, die einen negativen Exponenten besitzen.



Beispiel 5

Berechne die Ableitung der Funktion

\(\begin{aligned} f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2 \end{aligned}\)

Lösung:

Wir haben es hier wieder mit einer Parabel zu tun. Die Potenz ist also in dem Fall \(\textcolor{blue}{2}\)

\(\begin{aligned} f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\textcolor{blue}{2}} \end{aligned}\)

Um die Ableitung \(f'(x)\) zu erhalten, müssen wir die \(\textcolor{blue}{2}\) nach vorne ziehen und im Exponenten eine \(\textcolor{red}{1}\) abziehen. Den Faktor \(\frac{1}{2}\) vor dem \(x\) müssen wir wieder unverändert in die Ableitung schreiben, mehr dazu gibt es im Beitrag zur Faktorregel.

\(\begin{aligned} f'(x)=\frac{\textcolor{blue}{2}}{2}\cdot x^{\textcolor{blue}{2}-\textcolor{red}{1}} \end{aligned}\)

Die Ableitung lautet also:

\(f(x)=x\)







Aufgaben

Leite die folgenden Funktionen mit Hilfe der Potenzregel ab.

  • \(f(x)=3\cdot x^3\)
  • \(f(x)=2\cdot x\)
  • \(f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{-2}\)