Ableitung Produktregel


Ableitungsrechner

Der Ableitungsrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich Ableiten und noch viel mehr. Um zum Beispiel die Funktion \(f(x)=x^2\) abzuleiten, geh auf den knopf \(\frac{df}{dx}\) und gib \(x^2\) ein. Dann kannst du auf Lösen drücken und du erhälts die Ableitung deiner Funktion. Teste den Rechner mit Rechenweg aus.



Produktregel



Funktion ableiten mit der Produktregel

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit der Produktregel.

Bei der Produktregel handelt es sich im eine Ableitungsregel die man benutzt um Funktionen der Form \(f(x)=g(x)\cdot h(x)\) abzuleiten.

Regel:

Produktregel

Ableitung von \(f(x)=g(x)\cdot h(x)\)


\(f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)\)


Oft findet man die Ableitungsregeln auch mit den Funktionen \(u(x)\) und \(v(x)\) statt mit \(g(x)\) und \(h(x)\). Die Bezeichnung der Funktionen spielen keine jedoch Rolle.




Beispiel 1

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=x^2\cdot sin(x)\)

Lösung:

Wir haben es hier mit dem Produkt zweier Funktionen zu tun. Daher müssen wir die Produktregel anwenden um die Ableitung zu berechnen.

\(f(x)=\textcolor{green}{x^2}\cdot\textcolor{blue}{sin(x)}\)

Um die Ableitung mittels Produktregel durch zu führen, müssen wir die Ableitung vom ersten Faktor mit dem zweiten Faktor (unabgeleiten) multiplizieren und dann mit der Ableitung des zweiten Faktor mal dem ersten Faktor (unabgeleitet) addieren.

\(f'(x)=\textcolor{green}{2x}\cdot sin(x)+x^2\cdot\textcolor{blue}{cos(x)}\)

Dabei haben wir verwendet, dass die Ableitung vom \(sin(x)\) gerade den \(cos(x)\) ergibt. Mehr dazu gibt es im Beitrag Sinus Ableiten.



Beispiel 2

Wie lautet die Ableitung der folgenden Funktion

\(f(x)=(5x^2-3x)\cdot 8x\)

Lösung:

Die Ableitung dieser Funktion können wir berechnen, indem wir die Klammer ausmultiplizieren und dann direkt ableiten oder indem wir die Produktregel verwenden. Wir werden hier die Ableitung über die Produktregel berechnen.

\(f(x)=(\textcolor{green}{5x^2-3x})\cdot\textcolor{blue}{8x}\)

Wir benötigen die Ableitung von jedem einzelnen Faktor:

\((\textcolor{green}{5x^2-3x})'=\textcolor{green}{10x-3}\)

\(\textcolor{blue}{8x}'=\textcolor{blue}{8}\)

Nun müssen wir die Ableitung von jedem Faktor mit dem anderen Faktor (unabgeleitet) multiplizieren und daraus die Summe bilden:

\(\begin{aligned} f'(x)&=(\textcolor{green}{10x-3}) 8x+(5x^2-3x)\textcolor{blue}{8}\\ &=80x^2-24x+40x^2-24x\\ &=120x^2-48x \end{aligned}\)



Beispiel 3

Bestimme die Ableitung der Funktion

\(f(x)=sin(x)\cdot e^x\)

Lösung:

Für die Ableitung der Funktion nutzen wir wieder die Produktregel.

\(f(x)=\textcolor{green}{sin(x)}\cdot\textcolor{blue}{e^x}\)

Wir benötigen die Ableitung von jedem einzelnen Faktor:

\(\textcolor{green}{sin(x)}'=\textcolor{green}{cos(x)}\)

\(\textcolor{blue}{e^x}'=\textcolor{blue}{e^x}\)

Nun müssen wir die Ableitung von jedem Faktor mit dem anderen Faktor (unabgeleitet) multiplizieren und daraus die Summe bilden:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\textcolor{green}{cos(x)}\cdot e^x+sin(x)\textcolor{blue}{e^x}\\ &=\big(cos(x)+sin(x)\big)e^x\\ \end{aligned}\)





Aufgaben

Leite die folgenden Funktionen mit Hilfe der Faktorregel ab.

  • \(f(x)=2x\cdot (2x^2-1)\)
  • \(f(x)=2x^2\cdot\)\(\frac{1}{x-1}\)
  • \(f(x)=x\cdot cos(x)\)