Ableitung Quotientenregel


Ableitungsrechner

Der Ableitungsrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich Ableiten und noch viel mehr. Um zum Beispiel die Funktion \(f(x)=x^2\) abzuleiten, geh auf den knopf \(\frac{df}{dx}\) und gib \(x^2\) ein. Dann kannst du auf Lösen drücken und du erhälts die Ableitung deiner Funktion. Teste den Rechner mit Rechenweg aus.



Quotientenregel



Funktion ableiten mit der Quotientenregel

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit der Quotientenregel.

Bei der Quotientenregel handelt es sich im eine Ableitungsregel die man benutzt um Funktionen der Form \(f(x)=\,\)\(\frac{g(x)}{h(x)}\) abzuleiten.

Regel:

Quotientenregel

Ableitung von \(f(x)=\)\(\frac{g(x)}{h(x)}\)


\(f'(x)=\)\(\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{h(x)^2}\)


Je nachdem wo man die Quotientenregel sucht, findet man auch oft die Bezeichnung \(u(x)\) und \(v(x)\) statt \(g(x)\) und \(h(x)\). Die Bezeichnung der Funktionen spielt für die Quotientenregel keine Rolle.





Beispiel 1

Berechne die Ableitung der Funktion

\(\begin{aligned} f(x)=\frac{x}{2x+1} \end{aligned}\)

Lösung:

Um die Ableitung zu berechnen benötigen wir die Quotientenregel. Dazu brauchen wir die Ableitung vom \(\text{\textcolor{green}{Nenner}}\) und vom \(\text{\textcolor{blue}{Zähler}}\).

\(\begin{aligned} f(x)&=\frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{green}{2x+1}}\\ \\ \textcolor{blue}{x}'&=\textcolor{blue}{1}\\ \\ \textcolor{green}{2x+1}'&=\textcolor{green}{2} \end{aligned}\)

Nun müssen wir alles in die Quotientenregel einsetzen:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\frac{\textcolor{blue}{1}(\textcolor{green}{2x+1})-\textcolor{blue}{x}\cdot\textcolor{green}{2}}{(\textcolor{green}{2x+1})^2}\\ \\ &=\frac{2x+1-2x}{(2x+1)^2}\\ &=\frac{1}{(2x+1)^2}\\ \end{aligned}\)



Beispiel 2

Wie lautet die Ableitung der Funktion

\(\begin{aligned} f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2} \end{aligned}\)

Lösung:

Die Ableitung berechnen wir wieder über die Quotientenregel. Dazu brauchen wir die Ableitung vom \(\text{\textcolor{green}{Nenner}}\) und vom \(\text{\textcolor{blue}{Zähler}}\).

\(\begin{aligned} f(x)&=\frac{\textcolor{blue}{e^{2x}}}{\textcolor{green}{x^2}}\\ \\ \textcolor{blue}{e^{2x}}'&=\textcolor{blue}{2e^{2x}}\\ \\ \textcolor{green}{x^2}'&=\textcolor{green}{2x} \end{aligned}\)

Nun setzen wir alles in die Quotientenregel ein

\(\begin{aligned} f'(x)&=\frac{\textcolor{blue}{2e^{2x}}\cdot\textcolor{green}{x^2}-\textcolor{blue}{e^{2x}}\cdot\textcolor{green}{2x}}{\textcolor{green}{x^4}}\\ \end{aligned}\)



Beispiel 3

Wie lautet die Ableitung der Funktion

\(\begin{aligned} f(x)=\frac{1}{x} \end{aligned}\)

Lösung:

Wir müssen also ein Bruch ableiten, auch dass ist mit der Quotientenregel möglich. Dazu brauchen wir die Ableitung vom \(\text{\textcolor{green}{Nenner}}\) und vom \(\text{\textcolor{blue}{Zähler}}\).

\(\begin{aligned} f(x)&=\frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{green}{x}}\\ \\ \textcolor{blue}{1}'&=\textcolor{blue}{0}\\ \\ \textcolor{green}{x}'&=\textcolor{green}{1} \end{aligned}\)

Nun setzen wir alles in die Quotientenregel ein

\(\begin{aligned} f'(x)&=\frac{\textcolor{blue}{0}\cdot\textcolor{green}{x}-\textcolor{blue}{1}\cdot\textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{x^2}}\\ \\ &=-\frac{1}{x^2}\\ \end{aligned}\)





Aufgaben:

Leite die folgenden Funktionen mit Hilfe der Quotientenregel ab.

  • \(f(x)=\)\(\frac{x}{2x^2+x}\)
  • \(f(x)=\)\(\frac{4x^2}{3x+x^3}\)