Sinus Funktion ableiten


Ableitungsrechner

Der Ableitungsrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich Ableiten und noch viel mehr. Um zum Beispiel die Funktion \(f(x)=sin(x)\) abzuleiten, geh auf den knopf \(\frac{df}{dx}\) und gib \(sin(x)\) ein. Dann kannst du auf ableiten drücken und du erhälts die Ableitung deiner Funktion. Teste den Rechner aus.



Sinusfunktion ableiten

\(\begin{aligned} f(x)&=sin(x)\\ \\ f'(x)&=cos(x) \end{aligned}\)


Wie leitet man die Sinus Funktion ab?

Die Ableitung vom Sinus ist sehr einfach, denn die Ableitung der Sinus Funktion ergibt die Cosinus Funktion, dass kann man sich sehr leicht merken. Wenn jedoch im Argument vom Sinus nicht nur ein \(x\) steht z.B \(sin(2x+1)\), so muss man die Kettenregel anwenden.

Regel:

Sinus ableiten

Die Ableitung vom Sinus ergibt die Cosinus Funktion.

Ableitung von \(f(x)=sin(x)\) ergibt:


\(f'(x)=cos(x)\)

Beispiel 1

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=sin(2x)\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=sin(x)\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{cos(2x)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=2\cdot cos(2x)\)

Beispiel 2

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=sin(2x+1)\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=sin(x)\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x+1\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{cos(2x+1)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=2\cdot cos(2x+1)\)

Merke

Meistens hat man es bei der Ableitung der Sinus Funktion mit einer Verkettung zu tun. Bei der Ableitung einer verketteten Sinus Funktion muss man stets die Kettenregel anwenden. Oft wir die Kettenregel auch als "Äußere mal Innere Ableitung" bezeichnet.


Beispiel 3

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=sin(x^2)\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=sin(x)\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^2\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{cos(x^2)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=2x\cdot cos(x^2)\)

\(f'(x)=\underbrace{2x}_{\text{innere abgeleiten}} \cdot \underbrace{cos(x^2)}_{\text{äußere abgeleiten}}\)


Beispiel 4

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=sin(x^2+x)\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=sin(x)\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^2+x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{cos(x^2+x)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x+1}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=(2x+1)\cdot cos(x^2+x)\)

\(f'(x)=\underbrace{(2x+1)}_{\text{innere abgeleiten}}\cdot \underbrace{cos(x^2+x)}_{\text{äußere abgeleiten}}\)


Allgemeines zur Sinusfunktion

Die Sinusfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen welche oft auch als Winkelfunktionen bezeichnet werden. Die Trigonometrie ist eine Lehre, die sich mit Längen und Winkeln in Dreiecken beschäftigt. Doch nicht nur dort kommt die Sinusfunktion zum Einsatz. Sowohl der Sinus als auch der Kosinus gehören zu den elementaren Funktionen der Mathematik. Sie werden unter anderem auch in der Analysis gebraucht und sind in der Physik, insbesondere im Gebiet der Wellen und Schwingungen allgegenwärtig.