Sattelpunkt berechnen

Der Online Rechner von Simplexy kann dir bei der Sattelpunkt Berechnung sehr helfen. Mit dem Rechner kannst du dir den Graphen einer Funktion zeichnen lassen, die Funktion ableiten und viel mehr.

Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um eine besondere Form eines Wendepunkts. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der Steigung Null. Ein Sattelpunkt zeichnet sich dadurch aus, dass der Graph parallel zur x-Achse verläuft. Es ensteht eine "Treppenstufe".

1. Notwendige Bedingungen:

2. Hinreichende Bedingung:

An einem Sattelpunkt geht eine Funktion ähnlich wie bei einem Wendpunkt auch, von einer Links- in eine Rechts-Kurve oder umgekehrt über. Daher unterscheidet man bei einem Sattelpunkt ebenfalls zwischen einem Rechts-links-Sattelpunkt und Links-rechts-Sattelpunkt.

Untersuche die Funktion \(f(x)=x^3\) auf mögliche Sattelpunkte.

1. Die erste und zweite Ableitung berechnen:

2. Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen:

Es existiert ein potentieller Sattelpunkt an der Stelle

3. Die dritte Ableitung berechnen:

4. Potentieller Sattelpunkt in die dritte Ableitung einsetzen:

Da die dritte Ableitung von \(x\) unabhängig ist, kann man den potentiellen Sattelpunkt nicht einsetzen. Trotzallem ist die dritte Ableitung ungleich Null. Die hinreichende Bedingung ist damit erfüllt, es liegt ein Sattelpunkt vor.

5. y-Koordinate des Sattelpunkts berechnen:

Dazu setzt man \(x_s=0\) in die Ausgangsfunktion ein.

Die Funktion hat bei \((0|0)\) einen Sattelpunkt.

Wie man an dem Graphen der Funktion sieht, kommt erst die Rechtskurve dann der Sattelpunkt und im Anschluss geht die Funktion in eine Linkskurve über. Es handelt sich also hierbei um einen Rechts-links-Sattelpunkt. Das erkennt man daran, dass die dritte Ableitung größer als Null ist.