Stammfunktion Bruch


Stammfunktion Rechner

Der Stammfunktion Rechner von Simplexy kann dir die Stammfunktion von Brüchen berechnen und noch viel mehr. Nutze den Integralrechner um das bestimmte und unbestimmte Integal von Funktionen zu ermitteln.



Stammfunktion Bruch





Stammfunktion von Brüchen berechnen, geht genauso wie bei Potenzfunktionen. Man muss nur wissen wie sich ein Bruch in eine Potenzfunktion umschreiben lässt.

Brüche umschreiben

Brüche können in eine Potenzfunktion umgeschrieben werden und dann lässt sich die Stammfunktion leicht ermitteln.

\(\begin{aligned} \frac{1}{x}&=x^{-1}\\ \\ \frac{1}{x^2}&=x^{-2}\\ \\ \frac{1}{x^3}&=x^{-3}\\ \end{aligned}\)

Es handelt sich bei dieser Umschreibung lediglich um eine neue Schreibweise für den Bruch. Diese neue Schreibweise kann man genau so verinnerlichen wie die Schreibweise:

\(\begin{aligned} x\cdot x=x^2 \end{aligned}\)

Diese neue Notation erleichtet das berechnen der Stammfunktion von Brüchen.

Beispiele Stammfunktion Bruch

Beispiel 1

\(\begin{aligned} \displaystyle\int \frac{1}{x^3}\,\,dx&=\displaystyle\int x^{-3}\,\,dx\\ \\ &=-\frac{1}{2}x^{-2}+c=-\frac{1}{2x^2}+c \end{aligned}\)

Beispiel 2

\(\begin{aligned} \displaystyle\int \frac{5}{x^4}\,\,dx&=5\displaystyle\int \frac{1}{x^4}\,\,dx=5\displaystyle\int x^{-4}\,\,dx\\ \\ &=5\frac{1}{-3}x^{-3}+c=-\frac{5}{3x^3}+c \end{aligned}\)

Beispiel 3

\(\begin{aligned} \displaystyle\int \frac{3}{x^5}\,\,dx&=3\displaystyle\int \frac{1}{x^5}\,\,dx=3\displaystyle\int x^{-5}\,\,dx\\ \\ &=3\frac{1}{-4}x^{-4}+c=-\frac{3}{4x^4}+c \end{aligned}\)

Mit dem Integralrechner von Simplexy kannst du ganz einfach die Stammfunktion von einem Bruch berechnen.



Stammfunktion 1/x

Bei der Stammfunktion von 1/x kann die Potenzregel nicht angewandt werden. Das Umschreiben von 1/x liefert:

\(\frac{1}{x}=x^{-1}\)

Wendet man hier die Potenzregeln an, um die Stammfunktion zu berechnen, so wirst du sehen, dass im Exponenten eine Null stehen wird. Man kommt mit der klassischen Regel hier nicht weiter, dafür gibt es jedoch eine andere Regel.

1/x Stammfunktion

\(\displaystyle\int \frac{1}{x}=ln(|x|)+c\)



Dies ist eine Folge der logarithmischen Integrationsregel, welche folgendes besagt:

logarithmische Integrationsregel

\(\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,\,dx=ln(|f(x)|)+c\)


Ist \(f(x)=x\) so ist \(f'(x)=1\) und das Integral lautet:

\(\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,\,dx=\displaystyle\int \frac{1}{x}\,\,dx=ln(|x|)+c\)