Fläche zwischen zwei Graphen berechnen


Integralrechner

Mit dem Integral Rechner von Simplexy kannst du die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen. Teste den Rechner jetzt aus...



Eingeschlossene Fläche zwischen zwei Funktionen



Wie man die Fläche zwischen zwei Graphen berechnen kann, sehen wir uns direkt an einem Beispiel an.

Gegeben sind die zwei Funktionen

\(\begin{aligned} f(x)&=x^2+x+1\\ \\ g(x)&=x+2 \end{aligned}\)



Um die grün markierte Fläche zwischen den zwei Funktionen berechnen zu können nutzen wir die folgenden Schritte:

Schritt 1

Berechne den Schnittpunkt der zwei Funktionen indem beide Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden.

\(\begin{aligned} f(x)&=g(x)\\ \\ x^2+x+1&=x+2\\ \\ x^2+x+1&=x+2\,\,|-x\\ \\ x^2+x+1-x&=2\\ \\ x^2+1&=2\,\,|-1\\ \\ x^2&=1\\ \\ &\implies\\ \\ x&=\pm\sqrt{1} \end{aligned}\)

Die Schnittpunkte der zwei Funktionen sind damit

\(\begin{aligned} s_1&=-1\\ \\ s_2&=1 \end{aligned}\)

Schritt 2

Differenz der zwei Funktionen berechnen

\(\begin{aligned} f(x)-g(x)&=x^2+x+1-(x+2)\\ \\ &=x^2+x+1-x-2\\ \\ &=x^2-1 \end{aligned}\)

Schritt 3

Die Fläche A zwischen den zwei Funktionen bekommst du über das Integral von der Differenz der zwei Funktionen im Intevall der zwei Schnittpunkte. Wichtig ist dabei noch, dass der Betrag des Integrals gebildet wird um sicherzustellen das die Fläche positiv ist.

\(\begin{aligned} A&=\Bigg|\displaystyle\int_{s_1}^{s_2}f(x)-g(x)\,\,dx\Bigg|\\ \\ &=\Bigg|\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2-1\,\,dx\Bigg|\\ \\ &=\Bigg|\Big[\frac{1}{3}x^3-x\Big]_{-1}^1\Bigg|\\ \\ &=\Bigg|\Big(\frac{1}{3}1^3-1\Big)-\Big(\frac{1}{3}(-1)^3-(-1)\Big)\Bigg|\\ \\ &=\Bigg|-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\Bigg|=\Bigg|-\frac{4}{3}\Bigg|\\ \\ &=\frac{4}{3} \end{aligned}\)

Die Eingeschlossene Fläche zwischen den zwei Funktion ist \(\frac{4}{3}\) Flächeneinheiten Groß.

Weiteres Beispiel - Eingeschlossene Fläche zwischen zwei Graphen

Wie groß ist die Fläche \(A\) zwischen den zwei folgenden Funktionen.

\(\begin{aligned} f(x)=-\frac{x^2}{12}+5 \end{aligned}\)

und

\(\begin{aligned} g(x)=\frac{x^2}{6}+4 \end{aligned}\)

In der unteren Abbildung sind beide Funktion und die eingeschlossene Fläche dargestellt.




Eine andere Vorgehensweise

  • Zunächst müssen die Schnittpunkte \(x_1\) und \(x_2\) der zwei Funktionen berechnet werden.
  • Anschließend wird die Fläche zwischen der \(x\)-Achse und der Funktion \(f(x)\) im Intervall \([x_1,x_2]\)berechnet. Nennen wir diese Fläche \(F_1\).
  • Dann benötigt man noch die Fläche zwischen der Funktion \(g(x)\) und \(x\)-Achse im Intervall \([x_1,x_2]\). Diese Fläche nennen wir \(F_2\).
  • Um die Fläche zwischen den zwei Funktionen zu bekommen müssen wir die Flächen \(F_1\) und \(F_2\) von einander abziehen, also \(F_1-F_2\) berechnen.


Lösung

Um die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen zu können, müssen wir zunächst die Schnittpunkte der zwei Funktionen berechnen. Dazu setzen wir beide Funktionen gleich und stellen die Gleichung nach \(x\) um. Da die Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) Parabeln sind, werden wir zwei Schnittpunkte \(x_1\) und \(x_2\) erhalten.

\(\begin{aligned} -\frac{x^2}{12}+5&=\frac{x^2}{6}+4\\ \\ &\implies\\ \\ x_1=2\,\,\,&\text{und}\,\,\,x_2=-2 \end{aligned}\)

Wir können nun die Fläche \(F_1\) zwischen der Funktionen \(f(x)\) und der x-Achse im Intervall \([-2,2]\) berechnen.

\(\begin{aligned} F_1&=\displaystyle\int^{2}_{-2} -\frac{x^2}{12}+5=\frac{176}{9}\,\,\text{FE} \end{aligned}\)

Nun berechnen wir noch die Fläche \(F_2\) zwischen der Funktion \(g(x)\) und der x-Achse im Intervall \([-2,2]\)

\(\begin{aligned} F_2&=\displaystyle\int^{2}_{-2} \frac{x^2}{6}+4=\frac{152}{9}\,\,\text{FE} \end{aligned}\)

Um die Fläche zwischen den zwei Funktionen zu erhalten müssen wir nun die zwei Teilflächen \(F_1\) und \(F_2\) von einander abziehen.

\(\begin{aligned} A&=F_1-F_2\\ \\ &=\frac{176}{9}\,\,\text{FE}-\frac{152}{9}\,\,\text{FE}\\ \\ &=\frac{8}{3}\,\,\text{FE} \end{aligned}\)

Die Fläche zwischen den zwei Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) beträgt \(\frac{8}{3}\) FE.

Diese Vorgehensweise kann man für beliebige Funktionen wie folgt verallgemeinern.

Fläche zwischen zwei sich schneidenen Graphen

Wenn \(f\) und \(g\) zwei Funktionen sind, die im Intervall \([a,b]\) stetig sind und \(f(x)\geq g(x)\) für alle \(x\) in diesem Intervall. Dann berechnet sich die Fläche zwischen den zwei Graphen über die folgende Formel:

\(\begin{aligned} A&=\displaystyle\int^{b}_{a}\Big(f(x)-g(x)\Big)\,\,\,dx=\Big[F(x)-G(x)\Big]_a^b\\ \\ &=\Big(F(b)-G(b)\Big)-\Big(F(a)-G(a)\Big) \end{aligned}\)