Minus Cosinus Funktion integrieren


Integralrechner

Der Integralrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich integrieren und noch viel mehr. Berechne ganz simple die Stammfunktion von -cos(x).



Minus Cosinus Stammfunktion

\(\begin{aligned} f(x)&=-cos(x)\\ \\ F(x)&=-sin(x) + C \end{aligned}\)


Wie integriert man die Minus Cosinus Funktion?

Das Integral vom Minus Cosinus ist sehr einfach, denn die Stammfunktion der Minus Cosinus Funktion ergibt die Minus Sinus Funktion, dass kann man sich sehr leicht merken. Wenn jedoch im Argument vom Minus Cosinus nicht nur ein \(x\) steht z.B \(-cos(2x+1)\), so muss man das Integral über die Substitution berechnen.

Regel:

Stammfunktion von Minus Cosinus

Die Stammfunktion vom Minus Cosinus ergibt die Sinus Funktion.

Integral von \(f(x)=-cos(x)\) ergibt:


\(-\displaystyle\int cos(x)\,dx =-sin(x) + C \)

\(F(x)=-sin(x) + C \)

Dabei ist \(C\) eine beliebige Konstante.

Beispiel 1

Berechne das Integral der Funktion

\(f(x)=-cos(2x)\)

\(-\displaystyle\int cos(2x)\,dx\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun

daher müssen wir die Integration mittels Substitution durchführen.

Dazu führen wir folgende Substitution durch

\(u=2x\)

\(\implies\)

\(x=\)\(\frac{u}{2}\)

Das Differential \(dx\) kann nun über \(du\) folgendermaßen ausgedrückt werden:

\(dx=\frac{1}{2}du\)

Nun können wir im Integral \(2x\) mit \(u\) und \(dx\) mit \(\frac{1}{2}du\) ersetzen

\(-\frac{1}{2}\underbrace{\displaystyle\int cos(u) du}_{sin(u)} = -\frac{1}{2}sin(u) + C \)

Zum Schluss kann man \(u\) wieder mit \(2x\) Rücksubstituieren

\(-\displaystyle\int cos(2x)\,dx=-\frac{1}{2}sin(2x)+C\)

Als Lösung erhalten wir damit die Stammfunktion

\(F=-\)\(\frac{1}{2}\)\(sin(2x)+C\)

Beispiel 2

Berechne die Stammfunktion von

\(f(x)=-cos(2x+1)\)

\(-\displaystyle\int cos(2x+1)\,dx\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun

daher müssen wir wieder die Integration mittels Substitution durchführen.

Dazu führen wir folgende Substitution durch

\(u=2x+1\)

\(\implies\)

\(x=\)\(\frac{u}{2}-\frac{1}{2}\)

Das Differential \(dx\) kann nun über \(du\) folgendermaßen ausgedrückt werden:

\(dx=\frac{1}{2}du\)

Nun können wir im Integral \(2x+1\) mit \(u\) und \(dx\) mit \(\frac{1}{2}du\) ersetzen

\(-\frac{1}{2}\underbrace{\displaystyle\int cos(u) du}_{sin(u)} = -\frac{1}{2}sin(u) + C \)

Zum Schluss kann man \(u\) wieder mit \(2x+1\) Rücksubstituieren

\(-\displaystyle\int cos(2x+1)\,dx=-\frac{1}{2}sin(2x+1)+C\)

Als Lösung erhalten wir damit die Stammfunktion

\(F=-\)\(\frac{1}{2}\)\(sin(2x+1)+C\)

Merke

Muss man das Integral der Minus Cosinus Funktion berechnen, so wird man es häufig mit einer Verkettung zu tun haben. Beim integrieren muss man dann die Integration durch Substitution anwenden. Um sein Ergebnis zu überprüfen lohnt es sich eine Probe durchzuführen. Dazu bietet es sich an die berechnete Stammfunktion \(F(x)\) abzuleiten, um auf die Ausgangsfunktion \(f(x)\) zu kommen. Bei der Ableitung kann die Kettenregel nützlich sein.


Allgemeines zur Cosinusfunktion

Die Cosinusfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen welche oft auch als Winkelfunktionen bezeichnet werden. Die Trigonometrie ist eine Lehre, die sich mit Längen und Winkeln in Dreiecken beschäftigt. Doch nicht nur dort kommt die Cosinusfunktion zum Einsatz. Sowohl der Sinus als auch der Kosinus gehören zu den elementaren Funktionen der Mathematik. Sie werden unter anderem auch in der Analysis gebraucht und sind in der Physik, insbesondere im Gebiet der Wellen und Schwingungen allgegenwärtig.