Wurzel Funktion integrieren


Integralrechner

Der Integralrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich integrieren und die Stammfunktion berechnen. Berechne ganz einfach die Stammfunktion von Wurzel x.



Wurzel Stammfunktion

\(\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{x}\\ \\ F(x)&=\frac{2}{3}\sqrt{x^3} \end{aligned}\)


Andere Schreibweise


\(\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\\ \\ F(x)&=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \end{aligned}\)


Wie integriert man die Wurzelfunktion?

Das Integral der Wurzelfunktion ist sehr einfach, wenn man weiß wie man eine Wurzel in eine Potenzfunktion umschreiben kann. Aus dem Beitrag zur Wurzelfunktion wissen wir bereits wie man das macht.

Wurzelfunktion in Potenzfunktion umschrieben

\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}\)

\(\sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{5}}\)

...



Nun können wir zum Integrieren einer Wurzelfunktion stets, diese Schreibweise verwenden und die Regel zur Integration von Potenzfunktionen anwenden.

Wie du womöglich bereits weist, integriert man eine Potenzfunktion indem man den Exponenten um \(1\) erhöht und dann in den Nenner schreibt.

Regel:

Integration von Potenzfunktionen

Die Stammfunktion zu der Pontenzfunktion

\(f(x)=x^n\)\(\,\,\,\,\,\,\,\,n\in\natnums\)

berechnet sich über:

\(F(x)=\)\(\frac{1}{n+1}\)\(x^{n+1}\)

Hat man es nun mit einer Wurzelfunktion zu tun, so kann man diese Regel ebenfalls anwenden.

Ausführliche Herleitung

\(f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)

\(F(x)=\Big(\)\(\frac{1}{\frac{1}{2}+1}\)\(\Big)x^{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\)


Stammfunktion von Wurzel x

Die Stammfunktion der Wurzel ergibt:

\(\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx\)\(=\frac{2}{3} \sqrt{x^3}+ C\)

\(F(x)=\frac{2}{3} \sqrt{x^3}+ C \)

Dabei ist \(C\) eine beliebige Konstante.

Wenn unter der Wurzel nicht nur ein \(x\) steht, sondern z.B \(\sqrt{2x+1}\), so muss man das Integral der Wurzel über eine Substitution berechnen.

Beispiel 1

Berechne das Integral der Funktion

\(f(x)=\sqrt{2x}\)

\(F(x)=\displaystyle\int \sqrt{2x}\,dx\)

Lösung:

Das Integral können wir einfach lösen indem wir folgendes anwenden:

\(\sqrt{2x}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}\)

\(\implies\)

\(\displaystyle\int \sqrt{2x}\,dx=\sqrt{2}\underbrace{\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx}_{\frac{2}{3}\sqrt{x^3}}\)

Als Lösung erhalten wir damit die Stammfunktion

\(F=\)\(\frac{2}{3}\)\(\,\sqrt{2}\,\sqrt{x^3}+C\)

Beispiel 2

Berechne die Stammfunktion von

\(f(x)=\sqrt{2x+1}\)

\(\displaystyle\int \sqrt{2x+1}\,dx\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun

daher müssen wir wieder die Integration mittels Substitution durchführen.

Dazu führen wir folgende Substitution durch

\(u=2x+1\)

\(\implies\)

\(x=\)\(\frac{u}{2}-\frac{1}{2}\)

Das Differential \(dx\) kann nun über \(du\) folgendermaßen ausgedrückt werden:

\(dx=\frac{1}{2}du\)

Nun können wir im Integral \(2x+1\) mit \(u\) und \(dx\) mit \(\frac{1}{2}du\) ersetzen

\(\frac{1}{2}\underbrace{\displaystyle\int \sqrt{u}\,du}_{\frac{2}{3}\sqrt{u^3}} = \frac{1}{3}\sqrt{u^3} + C \)

Zum Schluss kann man \(u\) wieder mit \(2x+1\) Rücksubstituieren

\(\displaystyle\int \sqrt{2x+1} \,dx=\frac{1}{3}\sqrt{(2x+1)^3}+C\)

Als Lösung erhalten wir damit die Stammfunktion

\(F=\)\(\frac{1}{3}\)\(\sqrt{(2x+1)^3}\)

Merke

Muss man das Integral der Wurzel Funktion berechnen, so wird man es häufig mit einer Verkettung zu tun haben. Beim integrieren muss man dann die Integration durch Substitution anwenden. Um sein Ergebnis zu überprüfen lohnt es sich eine Probe durchzuführen. Dazu bietet es sich an die berechnete Stammfunktion \(F(x)\) abzuleiten, um auf die Ausgangsfunktion \(f(x)\) zu kommen. Bei der Ableitung kann die Kettenregel nützlich sein.


Allgemeines Zur Wurzelfunktion

Die einfachste Art sich eine Wurzelfunktion vorzustellen ist, Sie als die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion zu betrachten. Je nachdem was für ein Exponenten man hat, erhält man Wurzeln von verschiedenem Grad. In der Schule verwendet man meist die (Quadrat-)Wurzel \(\sqrt{x}\). Sie ist die Umkehrfunktion der Funktion \(x^2\) welche als Parabel bezeichnet wird.

Schreibweisen der Wurzelfunktion

\(\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\\ f(x)&=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}} \end{aligned}\)


Eine Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion:

\(y=x^n \iff x=y^{1/n}=\sqrt[n]{y}\)

Mathematische Herleitung:

\(y=x^n \,\,\,\,\,\,\)\(|(...)^{\frac{1}{n}}\)

\(y^{\frac{1}{n}}=(x^n)^{\frac{1}{n}}=x^{n\cdot\frac{1}{n}}=x \)

\(\implies x=y^{1/n}=\sqrt[n]{y}\)