Kombinatorik Allgemeines Zählprinzip


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Der Rechner von Simplexy kann dir beim Lösen vieler Aufgaben helfen. Für manche Aufgaben gibt die der Rechner mit Rechenweg auch einen Lösungsweg. So kannst du deinen eignen Lösungsweg überprüfen.



Das Allgemeine Zählprinzip


Stell dir eine Nachhilfegruppe mit drei Schülern und ein Lernraum mit drei Stühlen, die nebeneinander gestellt sind, vor. Die drei Schüler nennen wir sie Spongbob, Patrick und Sandy setzten sich in den Raum rein, dabei nehmen sie folgende Sitzordnung ein:

Spongbob \(\,\,\,\,\,\,\) Patrick \(\,\,\,\,\,\,\) Sandy

Am nächsten Tag setzen sie sich aber folgendermaßen hin:

Patrick \(\,\,\,\,\,\,\) Spongbob \(\,\,\,\,\,\,\) Sandy

Jeder dieser Sitzordnungen nennt man Permutation. Nun kann man sich fragen wie viele verschiedene Permutationen gibt es insgesamt. Schreiben wir sie mal alle Auf:


Platz 1 Platz 2 Platz 3
Spongbob Patrick Sandy
Spongbob Sandy Patrick
Patrick Spongbob Sandy
Patrick Sandy Spongbob
Sandy Patrick Spongbob
Sandy Spongbob Patrick

Es gibt also \(6\) verscheidene Permutation der Sitzordnung. In diesem Beispiel mit der Sitzordnung ist man in der lage alle Permutationen aufzuschreiben und nach zu zählen wie viele es insgesammt gibt. Wie geht man aber vor wenn man eine Klasse mit \(7\) Schülern hat. Wie ermittelt man für eine etwas größere Klasse die Anzahl an Permutationen der Sitzordnung, ohne sie alle aufschreiben zu müssen. Diese Fragen werden mit Hilfe der Kombinatorik beantwortet.


Betrachten wir nochmal das Beispiel mit der Sitzordnung von Spongebob, Patrick und Sandy. Wir fragen uns wie viele verschiedene Sitzordnung es gibt:

Nehmen wir an Spongbob kommt als erstes ins Zimmer und hat die freie Wahl sich irgendwo zu setzen.

Anschließend kommt Patrick in den Raum, da Spongbob bereits auf einem Stuhl sitzt sind nur noch zwei Plätze frei. Für Patrick sind also nur noch zwei Möglichkeiten sich auf einen Stuhl zu setzten.

Da Sandy zuletzt kommt, hat sie keine Wahl mehr als auf den übrigen freien Platz zu gehen.

Nach dem Zählprinzip ist die Anzahl an Möglichkeiten, eine Sitzordnung mit \(3\) Schülern aufzustellen gerade das Produkt aus den Möglichkeiten der einzelnen Schülern.

\(3\) Sitzmöglichkeiten von Spongbob mal \(2\) Sitzmöglichkeiten von Patrick mal \(1\) Sitzmöglichkeit von Sandy.

Somit gibt es \(3\cdot 2\cdot 1=6\) verschiedene Sitzordnungen.

Dafür kann man \(3!\) (\(3\)-Fakultät) schreiben.

Betrachten wir ein anderes Beispiel des Zählprinzips.

Thaddäus hat \(2\) Paar Schuhe, \(3\) Hosen und \(5\) T-Shirts. Wie oft muss er sich umziehen, wenn er alle Kombinationsmöglichkeiten anprobieren möchte?

Vorgehensweise

Zu jedem seiner \(2\) Paar Schuhe hat er \(3\) Möglichkeiten eine Hose anzuziehen. Damit gibt es
\(2\cdot 3=6\) Schuhe-Hosen-Kombinationen.

Zu jeder der \(6\) Schuhe-Hosen-Kombination kann Thaddäus \(5\) verschiedene T-Shirts anziehen. Er hat also insgesammt
\(6\cdot 5=30\) Schuhe-Hose-T-Shirt Kombinationen.

Regel:

Zählprinzip

Sind \(k\) Mengen \(M_1,M_2,...,M_k\), die je \(n_1,n_2,...,n_k\) Elemente besitzen gegeben, dann lassen sich insgesammt

\(n_1\cdot n_2\cdot ...\cdot n_k\)

verschiedene Kombinationen zusammenstellen.