Kombination ohne Wiederholung


Online Rechner

Der Rechner von Simplexy kann dir beim Lösen vieler Aufgaben helfen. Für manche Aufgaben gibt die der Rechner mit Rechenweg auch einen Lösungsweg. So kannst du deinen eignen Lösungsweg überprüfen.



Kombination ohne Wiederholung


Bei einer Kombination ohne Wiederholung werden aus \(n\) Elementen \(k\)-Elemente ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ausgewählt. Dabei darf jedes Element nur einmal ausgewählt werden.

Die Variation ohne Wiederholung und die Kombinaion ohne Wiederholung unterscheiden sich also nur darin, ob die Reihenfolge der Elemente eine Rolle spielt oder nicht.

Wir wissen bereits wie man die Anzahl an Anordnungen für eine Variation ohne Wiederholung berechnet:


\(\frac{n!}{(n-k)!}\)


Bei der Kombination ohne Wiederholungen können die \(k\) ausgewählten Elemente auf \(k!\) verschiedene Weise angeordet werden, da ihre Reihenfolge nicht von Bedeutung ist, lautet die Formel demnach:


\(\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\binom{n}{k}\)

Den Term \(\binom{n}{k}\) nennt man Binomialkoeffizient, gesprochen sagt man \(n\) über \(k\).

Regel:

Kombination ohne Wiederholung

Bei einer Kombination ohne Wiederholung werden \(k\) aus \(n\) Elementen unter Vernachlässigung der Reihenfolge ausgewählt, wobei jedes Element nur einmal ausgewählt werden darf.

Anzahl der Möglichkeiten für \(k\)-Elemente aus einer Menge mit insgesammt \(n\) Elementen berechnet sich über:

\(\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\binom{n}{k}\)

Beispiel

In einer Urne befinden sich \(6\) verschiedene Kugeln. Drei Kugeln sollen nacheinander gezogen werden ohne dass sie wieder in die Urne gelegt werden. Die Reihnfolge der gezogenen Kugeln soll nicht von Bedeutung sein. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

\(\binom{6}{3}=\frac{6!}{(6-3)!\cdot 3!}\)\(=20\)

Es gibt insgesamt \(20\) Möglichkeiten.