Permutation mit Wiederholung


Online Rechner

Der Rechner von Simplexy kann dir beim Lösen vieler Aufgaben helfen. Für manche Aufgaben gibt die der Rechner mit Rechenweg auch einen Lösungsweg. So kannst du deinen eignen Lösungsweg überprüfen.



Permutation mit Wiederholung


Betrachten wir nun eine Menge mit \(n\) Elementen, von denen jedoch \(k\)-Elemente identisch sind. Um die Anzahl an verschiedenen Permutationen zu berechnen muss man beachten, dass die identischen Elemente vertauschbar sind. Denn zwei identische Elemente können ihre Plätze tauschen ohne dabei eine neue Anordnung zu generieren.

Die Anzahl der Anordnungen für \(n\) Elemente von denen \(k\)-Elemente identisch sind berechnet sich über:

\(\frac{n!}{k!}\)

Sind nicht nur eine sondern \(l\) Gruppen, mit je \(k_1, k_2,...,k_l\) identischen Elementen, dann lautet die Formel wie folgt:

\(\frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}!\cdot ...\cdot k_{l}! }\)

Regel:

Permutation mit Wiederholung

Eine Permutation mit Wiederholung ist eine Anordnung von \(n\) Elementen einer Menge unter denen \(k\)-Elemente identisch sind.

Anzahl der Anordnungen für \(n\) Objekte berechnet sich über \(\frac{n!}{k!}\)

Beispiel

In einer Urne befinden sich \(5\) Kuglen, davon haben \(3\) Kugeln die gleiche Farbe. Wie viele verschiedene Anordnungen gibt es wenn man die Kuglen in der Urne in einer Reihe aufstellen möchte?

\(\frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{120}{6}\)\(=20\)

Es gibt \(20\) verschiedene Anordnungen die Kugeln in der Urne in einer Reihe aufzustellen.

Beispiel

In einer Urne befinden sich \(5\) Kugeln, davon sind \(3\) Kugeln weiß und \(2\) Kugeln schwarz. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Kugeln in der Urne in eine Reihe zu stellen.

\(\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(3\cdot 2\cdot 1)\cdot (2\cdot 1)}\)\(=10\)

Es gibt \(10\) verschiedene Anordnungen.