Permutation ohne Wiederholung


Online Rechner

Der Rechner von Simplexy kann dir beim Lösen vieler Aufgaben helfen. Für manche Aufgaben gibt die der Rechner mit Rechenweg auch einen Lösungsweg. So kannst du deinen eignen Lösungsweg überprüfen.



Permutation ohne Wiederholung


Wir betrachten \(n\) unterscheidbare Objekte, die wir nebeneinander in einer Reihe mit \(n\) Plätzen aufstellen wollen. Für das aller erste Objekt gibt es \(n\) Platzierungsmöglichkeiten, wir können uns also frei entscheiden wo wir es hinstellen wollen. Für das zweite Objekt haben wir nur noch \((n-1)\) Platzierungsstellen. Denn das erste Objekt besetzt bereits ein Platz auf den wir das zweite Objekt nicht mehr stellen können. Für das dritte Objekt gibt es \(n-2\) freie Plätze
...
Wenn wir nur noch das letzte Objekt zu platzieren müssen, ist nur noch ein Platz frei.

Mit Hilfe des Zählprinzips können wir die Anzahl an Permutationen folgendermaßen schreiben:

\(n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 1=n!\)

Regel:

Permutation ohne Wiederholung

Eine Permutation ohne Wiederholung ist eine Anordnung von Elementen einer Menge, dabei muss folgendes gelten:

  • Die Elemente sind unterscheidbar.
  • Kein Element darf mehrmals verwendet werden.

Anzahl der Anordnungen für \(n\) Objekte berechnet sich über \(n!\) (n-Fakultät)

Ein Beispiel hierfür haben wir bereits gehabt, wir haben die Anzahl an Sitzordnungen für eine Klasse mit \(7\) Schülern berechnet. Die Sitzordnung für Schüler erfüllt die Bedingungen für eine Permutation ohne Wiederholung. Alle Schüler sind unterscheidbar und kein Schüler kann auf mehr als ein Platz sitzen (mehrmaliges verwenden der Elemente). Damit lässt sich die Anzahl an Permutationen über \(7!\) berechnen.

Weiteres Beispiel

In einer Urne befinden sich vier verschiedene Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Kugeln in einer Reihe anzuordnen?

Es gibt insgesammt \(4!=24\) verschiedene Anordnungen.