Determinante berechnen


Determinanten Rechner

Der Matrizen Rechner von Simplexy kann beliebige Matrix Rechenoperationen für dich durchführen. Mit dem Rechner kannst du Matrizen addieren, Matrizen subtrahieren, Matrizen multiplizieren, Matrizen invertieren, Matrizen transponieren und viel mehr.



Die Determinante

In diesem Beitrag werden wir uns mit der Determinante einer Matrix beschäftigen.

Definition der Determinante:

Die Determinante einer quadratischen Matrix ist eine Zahl die ihr zugeordnet wird und aus ihren Einträgen berechnet wird.

Die Determinante wird unter anderem dazu genutzt um Eigenschaften einer Matrix zu ermitteln. So ist beispielsweise eine Matrix genau dann invertierbar, wenn die Determinante dieser Matrix ungleich null ist. Im folgenden werden wir noch weitere Eigenschaften der Determinante besprechen.

Beispiel

\(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{pmatrix}\)

Die Determinante der Matrix A lautet:

\(det(A)=|A|=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{vmatrix}\)

Determinante berechnen

Wie berechnet man die Determinante einer Matrix ?

Für die Berechnung der Determinante gibt es den Laplace'schen Entwicklungssatz und den Gauß-Algorithmus.

Für 2x2 und 3x3 Matrizen gibt es eine sehr einfache und leicht zu merkende Formel um die Determinante zu berechnen.

2x2 Determinante berechnen

Wie berechnet man die Derminante einer 2x2 Matrix ?

Allgemeines Beispiel

\(A=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{a} & \textcolor{green}{b} \\\textcolor{green}{c} & \textcolor{red}{d}\\\end{pmatrix}\)

\(det(A)=|A|=\begin{vmatrix}\textcolor{red}{a} & \textcolor{green}{b} \\\textcolor{green}{c} & \textcolor{red}{d}\\\end{vmatrix}\)

Man benötigt für die Berechnung der Determinante das Produkt der Elemente der Hauptdiagonale.

\(\textcolor{red}{a}\cdot \textcolor{red}{d}\)

Ebenfalls benötigt man das Produkt der Elemente der Nebendiagonale.

\(\textcolor{green}{c}\cdot \textcolor{green}{b}\)

Die Formel zur Berechnung der Determinante einer 2x2 Matrix lautet:

\(|A|=\begin{vmatrix}\textcolor{red}{a} & \textcolor{green}{b} \\\textcolor{green}{c} & \textcolor{red}{d}\\\end{vmatrix}=\textcolor{red}{a}\cdot \textcolor{red}{d}-\textcolor{green}{c}\cdot \textcolor{green}{b}\)

Konkrete Beispiele

\(|A|=\begin{vmatrix}2 & 2 \\2 & 2\\\end{vmatrix}=2\cdot 2-2\cdot 2=0\)

\(|B|=\begin{vmatrix}1 & 2 \\3 & 4\\\end{vmatrix}=1\cdot 4-3\cdot 2=-2\)

\(|C|=\begin{vmatrix}2 & 5 \\1 & 3\\\end{vmatrix}=2\cdot 3-1\cdot 5=1\)

3x3 Determinante berechnen

Wie berechnet man die Derminante einer 3x3 Matrix ?



Allgemeines Beispiel

\(A=\begin{pmatrix}a & b & c\\d & e & f \\ g & h & i \\\end{pmatrix}\)


Mit der Regel von Sarrus lässt sich die Derminante einer 3x3 Matrix sehr leicht berechnen. Dazu schreibt man die ersten zwei Spalten rechts neben der Ausgangsmatrix und bildet das Produkt der drei Diagonalen.

\(|A|=\begin{vmatrix}a & b & c\\d & e & f \\ g & h & i \\\end{vmatrix}\begin{matrix}a & b \\d & e \\ g & h \\\end{matrix}\)


Nun berechnet man das Produkt aus den drei Diagonalen, die von oben links nach unten rechts verlaufen.

\(a\cdot e\cdot i+b\cdot f\cdot g+c\cdot d\cdot h\)

Ebenso berechnet man das Produkt aus den drei Diagonale, die von unten links nach oben rechts verlaufen.

\(-g\cdot e\cdot c -h\cdot f\cdot a-i\cdot d\cdot b\)

Anschließend muss man nur noch diese zwei Produkte aus den Diagonalen von einander abziehen.

\(|A|=\begin{vmatrix}a & b & c\\d & e & f \\ g & h & i \\\end{vmatrix}=\)

\(a\cdot e\cdot i+b\cdot f\cdot g+c\cdot d\cdot h-g\cdot e\cdot c -h\cdot f\cdot a-i\cdot d\cdot b\)

Konkrete Beispiele

\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end{pmatrix}\)

\(|A|=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end{vmatrix}\)

\(=1\cdot 5\cdot 9+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8-7\cdot 5\cdot 3-8\cdot 6\cdot 1-9\cdot 4\cdot 2\)

\(=45+84+96-105-48-72=0\)

Eigenschaften der Determinante

Regel:

Die Determinante einer Matrix ist genau so groß wie die Determinante ihrer Transponierten:

\(|A|=|A|^T\)


Regel:

Vertauscht man die Zeilen oder die Spalten einer Determinante eine ungerade Anzahl an malen, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

\(|A|=\begin{vmatrix}\textcolor{red}{a} & \textcolor{red}{b} & \textcolor{red}{c}\\d & e & f \\ g & h & i \\\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}d & e & f\\\textcolor{red}{a} & \textcolor{red}{b} & \textcolor{red}{c} \\ g & h & i \\\end{vmatrix}\)

Vertauscht man die Zeilen oder die Spalten einer Determinante eine gerande Anzahl an malen, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante nicht.

\(|A|=\begin{vmatrix}\textcolor{red}{a} & \textcolor{red}{b} & \textcolor{red}{c}\\d & e & f \\ g & h & i \\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} d & e & f\\g & h & i \\\textcolor{red}{a} & \textcolor{red}{b} & \textcolor{red}{c}\\\end{vmatrix}\)


Regel:

Wird eine Zeile oder eine Spalte der Matrix mit einer Zahl multipliziert, so multipliziert sich auch die Determinante der Matrix mit der Zahl:

\(det(B)=|B|=\begin{vmatrix}a & b & c\\d & e & f \\ g & h & i \\\end{vmatrix}\)

\(\begin{vmatrix}\textcolor{red}{\lambda}\cdot a &\textcolor{red}{\lambda}\cdot b &\textcolor{red}{\lambda}\cdot c\\d & e & f \\ g & h & i \\\end{vmatrix}=\textcolor{red}{\lambda}\cdot det(B)\)

\(\begin{vmatrix}\textcolor{red}{\lambda}\cdot a &b &c\\\textcolor{red}{\lambda}\cdot d & e & f \\\textcolor{red}{\lambda}\cdot g & h & i \\\end{vmatrix}=\textcolor{red}{\lambda}\cdot det(B)\)


Regel:

Die Determinante aus dem Produkt von zwei Matrizen ist dem Produkt ihrer Determinanten gleich:

\(|A\cdot B|=|A|\cdot |B|\)


Regel:

Die Determinante einer Matrix ist gleich null wenn eines der folgenden Fälle auf die Matrix zutrifft:

  • Eine oder mehr Spalten/Zeilen nur aus Nullen bestehen.

  • Zwei oder mehr Spalten/Zeilen gleich sind.

  • Eine Spalte/Zeile aus einer Linearkombination anderer Spalten oder Zeilen besteht.