Matrix Multiplikation


Matrix Rechner

Der Matrizen Rechner von Simplexy kann beliebige Matrix Rechenoperationen für dich durchführen. Mit dem Rechner kannst du Matrizen addieren, Matrizen subtrahieren, Matrizen multiplizieren, Matrizen invertieren, Matrizen transponieren und viel mehr.



Matrix Multiplikation

In diesem Beitrag werden wir uns mit der Matrixmultiplikation beschäftigen.



Bedingung zum multiplizieren von Matrizen

Damit man zwei Matrizen multiplizieren darf muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.

Beispiel

\(A=\begin{pmatrix}\textcolor{green}{a_{11}} & \textcolor{green}{a_{12}} & \textcolor{green}{a_{13}} & \textcolor{green}{a_{14}} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\end{pmatrix}\)


\(B=\begin{pmatrix}\textcolor{green}{b_{11}} & b_{12} \\\textcolor{green}{b_{11}} & b_{22} \\\textcolor{green}{b_{31}} & b_{32}\\\textcolor{green}{b_{41}} & b_{42} \\\end{pmatrix}\)

Eine Multiplikation von Matrix A und Matrix B ist möglich weil die Spaltenanzahl von A und die Zeilenanzahl von B gleich sind.

Beispiel

\(C=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\end{pmatrix}\)


\(D=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{b_{11}} & b_{12} \\\textcolor{red}{b_{11}} & b_{22} \\\end{pmatrix}\)

Eine Multiplikation von Matrix C und Matrix D ist nicht möglich weil die Spaltenanzahl von A und die Zeilenanzahl von B unterschiedlich sind.

Wie multipliziert man Matrizen

Beispiel 1

\(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}\)


\(B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22}\\\end{pmatrix}\)



\(A\cdot B=\begin{pmatrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21} && a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21} && a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22} \\\end{pmatrix}\)

Beispiel 2

\(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\end{pmatrix}\)


\(B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22} \\b_{31} & b_{32}\\\end{pmatrix}\)



\(A\cdot B=\)

\(\begin{pmatrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31} & a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32} \\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31} & a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32} \\\end{pmatrix}\)

Rechenregeln der Matrixaddition

Regel:

Matrix Multiplikation ist Assoziativ

\((A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)\)

Matrix Addition ist Distributiv

\(A\cdot (B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)\)

\((A+B)\cdot C=(A\cdot C)+(B\cdot C)\)


Achtung !

Im Allgemeinen gilt:

\(A\cdot B \neq B\cdot A\)