Matrix Multiplikation
Matrix Rechner
Der Matrizen Rechner von Simplexy kann beliebige Matrix Rechenoperationen für dich durchführen. Mit dem Rechner kannst du Matrizen addieren, Matrizen subtrahieren, Matrizen multiplizieren, Matrizen invertieren, Matrizen transponieren und viel mehr.
Matrix Multiplikation
In diesem Beitrag werden wir uns mit der Matrixmultiplikation beschäftigen.
Bedingung zum multiplizieren von Matrizen
Damit man zwei Matrizen multiplizieren darf muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.
Beispiel
\(A=\begin{pmatrix}\textcolor{green}{a_{11}} & \textcolor{green}{a_{12}} & \textcolor{green}{a_{13}} & \textcolor{green}{a_{14}} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\end{pmatrix}\)
\(B=\begin{pmatrix}\textcolor{green}{b_{11}} & b_{12} \\\textcolor{green}{b_{11}} & b_{22} \\\textcolor{green}{b_{31}} & b_{32}\\\textcolor{green}{b_{41}} & b_{42} \\\end{pmatrix}\)
Eine Multiplikation von Matrix A und Matrix B ist möglich weil die Spaltenanzahl von A und die Zeilenanzahl von B gleich sind.
Beispiel
\(C=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\end{pmatrix}\)
\(D=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{b_{11}} & b_{12} \\\textcolor{red}{b_{11}} & b_{22} \\\end{pmatrix}\)
Eine Multiplikation von Matrix C und Matrix D ist nicht möglich weil die Spaltenanzahl von A und die Zeilenanzahl von B unterschiedlich sind.
Wie multipliziert man Matrizen
Beispiel 1
\(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}\)
\(B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22}\\\end{pmatrix}\)
\(A\cdot B=\begin{pmatrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21} && a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21} && a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22} \\\end{pmatrix}\)
Beispiel 2
\(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\end{pmatrix}\)
\(B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22} \\b_{31} & b_{32}\\\end{pmatrix}\)
\(A\cdot B=\)
\(\begin{pmatrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31} & a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32} \\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31} & a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32} \\\end{pmatrix}\)
Rechenregeln der Matrixaddition
Regel:
Matrix Multiplikation ist Assoziativ
\((A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)\)
Matrix Addition ist Distributiv
\(A\cdot (B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)\)
\((A+B)\cdot C=(A\cdot C)+(B\cdot C)\)
Achtung !
Im Allgemeinen gilt:
\(A\cdot B \neq B\cdot A\)