Determinante - Regel von Sarrus


Determinanten Rechner

Der Matrizen Rechner von Simplexy kann beliebige Matrix Rechenoperationen für dich durchführen. Mit dem Rechner kannst du Matrizen addieren, Matrizen subtrahieren, Matrizen multiplizieren, Matrizen invertieren, Matrizen transponieren und viel mehr.



Regel von Sarrus



Derminante einer 3x3 Matrix berechnen

Eklärung

\(A=\begin{pmatrix}a & b & c\\d & e & f \\ g & h & i \\\end{pmatrix}\)


Die Regel von Sarrus ist eine hilfreiche Regel bei der Berechnung von 3x3 Determinanten. Man schreibt die ersten zwei Spalten als Erweiterung rechts neben der Matrix und bildet das Produkt der drei Diagonalen.

\(|A|=\begin{vmatrix}a & b & c\\d & e & f \\ g & h & i \\\end{vmatrix}\begin{matrix}a & b \\d & e \\ g & h \\\end{matrix}\)


Wie in der Animation dargestellt berechnet man das Produkt aus den drei Diagonalen, die von oben links nach unten rechts verlaufen.

\(a\cdot e\cdot i+b\cdot f\cdot g+c\cdot d\cdot h\)

Man berechnet anschießend das Produkt aus den drei Diagonalen, die von unten links nach oben rechts verlaufen.

\(-g\cdot e\cdot c -h\cdot f\cdot a-i\cdot d\cdot b\)

Nun werden die zwei Produkte aus den Diagonalen von einander abgezogen.

\(|A|=\begin{vmatrix}a & b & c\\d & e & f \\ g & h & i \\\end{vmatrix}=\)

\(a\cdot e\cdot i+b\cdot f\cdot g+c\cdot d\cdot h-g\cdot e\cdot c -h\cdot f\cdot a-i\cdot d\cdot b\)

Die Determinante einer 3x3 Matrix kann mittels Regel von Sarrus berechnet werden.


Die Regel von Sarrus ist nur eine Veranschaulichung des Laplace'sche Entwicklungssatzes. Die Regel von Sarrus, in der hier beschrieben Form, kann nur auf 3x3 Matrizen angewandt werden.

Konkrete Beispiele

\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end{pmatrix}\)

\(|A|=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end{vmatrix}\)

\(=1\cdot 5\cdot 9+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8-7\cdot 5\cdot 3-8\cdot 6\cdot 1-9\cdot 4\cdot 2\)

\(=45+84+96-105-48-72=0\)