Kreuzprodukt - Vektorprodukt


Kreuzprodukt Rechner

Der Vektorrechner von Simplexy kann beliebige Vektoroperationen für dich durchführen. Mit dem Rechner kannst du den Winkel zwischen Vektoren berechnen, Vektoren addieren, Vektoren subtrahieren, Skalarprodukt berechnen, Kreuzprodukt berechnen und viel mehr.



Das Kreuzprodukt



Das Kreuzprodukt ist eine Vektoroperation bei der zwei Vektoren so verknüpft werden, dass das Ergebnis ein Vektor ist, der Senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren steht.

Das Kreuzprodukt wir oft auch als Vektorprodukt bezeichnet. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist wie folgt definiert.

Regel:

Kreuzprodukt Definition:

\(\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2\\a_3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2\\b_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{array}\right)\)


Der durch das Kreuzprodukt entstehende Vektor \(\vec{c}\) steht senkrecht auf \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). Vektor \(\vec{c}\) hat die Länge

\(|\vec{c}|=|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot sin(\alpha)\)

dies entspicht gerade dem Flächeninhalt des von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Parallelogramms.

Beispiel

\(\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\\4\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1\cdot 3-4\cdot (-2) \\ 4\cdot 1-2\cdot 3\\2\cdot (-2)-1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 11 \\ -2\\-5\end{array}\right)\)


Achtung !

Das Kreuzprodukt in dieser Form existiert nur im Dreidimensionalen.


Schema zum berechnen des Kreuzprodukts

Um nicht die gesamte Formel für das Berechnen des Krezproduktes auswendig lernen zu müssen kann man sich das folgende Schema merken.

Dazu hängt man die zwei ersten Komponenten der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) an das Ende des jeweiligen Vektors und verwendet die eingezeichneten Pfeile um die richtigen Komponenten mit einander zu veknüpfen.