Vektorrechnung Überblick


Vektorrechner

Der Vektorrechner von Simplexy kann beliebige Vektoroperationen für dich durchführen. Mit dem Rechner kannst du den Winkel zwischen Vektoren berechnen, Vektoren addieren, Vektoren subtrahieren und viel mehr.



Grundlagen zu den Vektoren

Um einen beliebigen Punkt auf einer Ebene zu erreichen musst du angeben wie viele Schritte man in die \(x\)-Achse und wie viel man in die \(y\)-Achse gehen muss. Um den Punkt \(P=(2|1)\) zu errechein muss man zwei Schritte entlang der \(x\)-Achse und einen Schritt entlang der \(y\)-Achse gehen.


Man kann den Punkte \(P=(2|1)\) auch erreichen, in dem man sagt gehe entlang den Vektor \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right)\) am ende des Vektors erreichst du den Punkt \(P=(2|1)\).

Ein Vektor ist ein Pfeil im Raum (3D) oder auf einer Ebene (2D), der eine Richtung und eine Länge besitzt. Mit einem Vektor kannst du beispielsweise angeben wie man zu einem bestimmten Punkt gelangt.

Im Dreidimensionalen lässt sich ein Vektor durch die Angabe der drei Koordinaten \(x,y\) und \(z\) ausdrucken. Für den Punkt \(P=(2|1)\) schreibt man in 3-Dimensionen \(P=(2|1|0)\). Der Vektor zu diesem punkt lautet dem entsprechend

\(\vec{v_1}=\left(\begin{array}{c} y \\ x \\z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\0 \end{array}\right)\)

Beträgt die Höhe des Punktes nicht Null, so kommt in die \(z\)-Komponente des Vektors die entsprechende Höhe. Betrachten wir als Beispiel den Punkt \(Q=(1,1,2)\), dieser Punkt liegt \(2\) Einheiten über der \(xy\)-Ebene der Vektor zu diesem Punkt lautet

\(\vec{v_2}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\2 \end{array}\right)\)

Ortsvektor und Richtungsvektor

Betrachten wir den Koordinatenursprung \(O(0|0)\) und den Punkt \(P(4|2)\), der Vektor \(\overrightarrow{OP}=\vec{p}=\left(\begin{array}{c} 4-0 \\ 2-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2\end{array}\right)\) nennt man Ortsvektor zum Punkt \(P\).

Ein Ortsvektor hat immer den Koordinatenursprung als Startpunkt und die Spitze zeigt immer auf den gewünschten Endpunkt. Ein Richtungsvektor hingegen kann jeden Punkt als Startpunkt besitzen. Zum Beispiel ist der Richtungsvektor zwischen den Punkten \(A(1|3)\) und \(B(4|1)\) gegeben über:

\(\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4-1 \\ 1-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2\end{array}\right)\)

Wenn zwei Richtungsvektoren die gleiche Länge und die gleiche Richtung besitzen, dann sind sie identisch. Im dreidimensionalen Raum gilt das gleiche für die Richtungsvektoren wie im zwei-dimensionalen. Es kommt lediglich noch eine zusätzliche \(z\)-Achse in den Komponenten der Vektoren.

Länge eines Vektors berechnen

Die Länge eines Vektors \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\v_3\end{array}\right)\) berechnet sich über:

\(|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\)

Beispiel

Die Länge des Vektor \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\3\end{array}\right)\) beträgt

\(|\vec{a}|=\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}\)

Vektoren die eine Länge von \(1\) besitzen nennt man normierte Vektoren oder Einheitsvektoren.

Einheitsvektoren im kartesischen System:

\(\vec{e_x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\\0\end{array}\right)\) \(\vec{e_y}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1\\0\end{array}\right)\) \(\vec{e_z}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0\\1\end{array}\right)\)

Besitzt ein Vektor die Länge \(0\), dann handelt es sich um den Nullvektor.

Rechnen mit Vektoren

Addieren und Subtrahieren von Vektoren

\(\vec{a}\pm\vec{b}=\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2\\a_3\end{array}\right)\pm\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2\\b_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_1\pm b_1 \\ a_2\pm b_2\\a_3\pm b_3\end{array}\right)\)

Beispiel

\(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3\\2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 2 \\ 5\\7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1+2 \\ 3+5 \\2+7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 8 \\9\end{array}\right)\)


Es gilt \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)

Graphisch kann man sich die Addition zweier Vektoren folgendermaßen vorstellen:



Vektor mit Skalar Multiplizieren

Ein Vektor kann mit einer Zahl (Skalar) multipliziert werden, dabei wird sich die Länge des Vektors ändern nicht aber seine Richtung.

\(2\cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2\cdot 1 \\ 2\cdot 1\\2\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2\\2\end{array}\right)\)

Skalarprodukt eines Vektors

Das Skalarprodukt oder auch inneres Produkt genannt ist eine mathematische Rechenoperation, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Das Skalarprodukt ist nützlich um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu ermitteln. Allgemein lässt sich das Skalarprodukt wie folgt definieren:

\(\vec{a}\bullet \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\)

Beispiel

\(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4\\3\end{array}\right)\bullet\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3\\1\end{array}\right)=1\cdot 2+4\cdot 3+3\cdot 1=17\)

Sind zwei Vektoren orthogonal zu einander (senkrecht zu einander) so kommt beim Skalarprodukt immer Null raus. Die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems sind Orthogonal zu einander.

\(\vec{e_x}\bullet\vec{e_y}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\\0\end{array}\right)\bullet\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1\\0\end{array}\right)=1\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot 0=0\)

Winkel zwischen Vektoren berechnen

Im zwei-Dimensionalen gilt für den Winkel \(\alpha\) zwischen den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\):

\(cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2}{\sqrt{a_1^2+ a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+ b_2^2}}\)

Im Dreidimensionalen gilt für den Winkel \(\alpha\) zwischen den Vektoren:

\(cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3}{\sqrt{a_1^2+ a_2^2+a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2+ b_2^2+b_3^2}}\)

Sowohl im zwei-Dimensionalen als auch im Dreidimensionalen erhält man den Winkel \(\alpha\) über:

\(\alpha=cos^{-1}\Big(\frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\Big)\)

Beispiel

Winkel zwischen den Einheitsvektoren \(\vec{e_x}\) und \(\vec{e_y}\):

\(\alpha=cos^{-1}\Big(\frac{\vec{e_x}\bullet \vec{e_y}}{|\vec{e_x}|\cdot |\vec{e_y}|}\Big)\)

Wir wissen bereits, das \(\vec{e_x}\bullet \vec{e_y}=0\) damit folgt für den Winkel zwischen den Einheitsvektoren:

\(\alpha=cos^{-1}(0)=90°\)

Da die Einheitsvektoren orthogonal zu einander sind, ist es kein Wunder dass zwischen ihnen ein Winkel von \(90°\) liegt.

Normalenvektor ermitteln

Ist der Normalenvektor \(\vec{n}\) zu einem Vektor \(\vec{v}\) gesucht, so muss der Normalenvektor folgende Bedingung erfüllen:

\(\vec{n}\bullet \vec{v}=0\)

Kreuzprodukt berechnen (Vektorprodukt)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist ein Vektor \(\vec{c}\), der Senkrecht auf der von den zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Ebene Liegt und mit ihnen ein Rechtssystem bildet.

\(\vec{a}\times \vec{b}=\vec{c}\)

Der Flächeninhalt der Fläche, die von den zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannt wird ist so groß wie der Betrag des Kreuzprodukts der Vektoren.

\(A=|\vec{a}\times \vec{b}|\)

Das Kreuzprodukt berechnet sich über:

\(\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2\\a_3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2\\b_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{array}\right)\)

Die Länge des Vektors \(\vec{c}\) ist genau so groß wie der Flächeninhalt
\(A=|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{c}|\)

Mit dem Kreuzprodukt besitzt man ein Werkzeug um den Normalenvektor einer Ebene zu berechnen, man muss lediglich zwei Vektoren aufstellen, mit denen sich die gewünschte Fläche aufspannen lässt. Darauf hin berechnet man das Kreuzprodukt dieser Vektoren und normiert den aus dem Kreuzprodukt erhaltenen Vektor.

Beispiel

\(\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\\4\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1\cdot 3-4\cdot (-2) \\ 4\cdot 1-2\cdot 3\\2\cdot (-2)-1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 11 \\ -2\\-5\end{array}\right)\)


Achtung !

Das Kreuzprodukt in dieser Form existiert nur im Dreidimensionalen.


Das Spatprodukt

Die Kombination aus Skalarprodukt und Kreuzprodukt in der Folgendenform wird als Spatprodukt bezeichnet

\((\vec{a}\times \vec{b})\bullet \vec{c}\)

Das Spatprodukt liefert eine Zahl die gerade dem Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats entspricht.