Lineare Funktion - Negative Steigung


Lineare Funktion Rechner

Der Online Rechner mit Rechenweg von Simplexy kann lineare Funktionen zeichnen, Nullstellen berechnen, Y-Achsenabschnitte berechnen und viel mehr.



Negative Steigung Lineare Funktion



Eine Lineare Funktion hat ganz Allgemein die Form

\(f(x)=m\cdot x+b\)

Der Graph einer Linearen Funktion ist wie der Name schon sagt eine Gerade. Dabei nennt man \(m\) die Steigung der Geraden und \(b\) nennt man den \(y\)-Achsenabschnitt, also die Stelle an der die Gerade die \(y\)-Achse schneidet. In einem Koordinantensystem wird das aussehen der Geraden, durch die Werte \(m\) und \(b\) festgelegt.

Hier siehst du eine Funktion mit negativer Steigung:



In diesem Beispiel ist die Funktion \(f(x)=-2\cdot x - 1 \), die Steigung
\(m=-2\) und der \(y\)-Achsenabschnitt \(b=-1\). Die Steigung dieser Geraden ist negativ weil die Funktion mit größeren \(x\)-Werten immer kleiner \(y\)-Werte annimmt. Anders als bei einer Funktion mit positiver Steigung ermitteln man die Steigung, indem man eine Einheit nach rechts geht und dann so viele Quadrate nach unten geht bis man die Gerade wieder erreicht. Die Steigung berechnet sich bei einer linearen Funktion mit negativer Steigung folgendermaaßen:

Steigungsformel

\(\begin{aligned} m=-\frac{\Delta y}{\Delta x} \end{aligned}\)

Dabei ist \(\Delta y\) die Anzahl an Einheiten, die man nach unten geht und \(\Delta x\) die Anzahl an Einheiten die man nach rechts geht.



Die Strecken \(\Delta x\) und \(\Delta y\) bilden übrigens ein sogenanntes Steigungsdreieck.


Regel

  • Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Punkt an dem die lineare funktion die \(y\)-Achse schneidet.

  • Die Steigung einer linearen Funktion berechnet sich über \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\).

  • Ist die Steigung negativ, so ist \(\Delta y\) negativ, da man nach unten gehen muss: \(m=-\frac{\Delta y}{\Delta x}\).

  • \(\Delta x\) ist die Anzahl an Einheit die man nach rechts geht. \(\Delta y\) ist die Anzahl an Einheiten die man von da aus benötigt um zur Gerade zu gelangen.

  • Die Steigung ist positiv wenn man nach oben gehen muss um zur Gerade zu gelangen.

  • Die Steigung ist negativ wenn man nach unten gehen muss um zur Gerade zu gelangen.





Lineare Funktion Steigung - Beispiele

Beispiel 1 - Steigung einer Lineare Funktion

Gegeben ist die Funktion

\(f(x)=-3\cdot x -1\)

Bestimme die Steigung der linearen Funktion.

Lösung

\(f(x)=\textcolor{blue}{-3}\cdot x -1\)

Die Steigung der linearen Funktion ist \(\textcolor{blue}{m}=\textcolor{blue}{-3}\).

Beispiel 2 - Steigung aus zwei Punkten berechnen

Gegeben sind die Punkte \(Q=(0|-1)\) und \(P=(1|-3)\). Berechne die Steigung der linearen Funktion, welche durch diese zwei Punkte geht.

Lösung

Um die Steigung der Geraden, welche durch die zwei Punkte \(Q\) und \(P\) geht, nutzen wird die Steigungsformel

\(\begin{aligned} m&=\frac{y_P-y_Q}{x_P-x_Q}\\ \\ &=\frac{-3-(-1)}{1-0}=\frac{-2}{1}=-2 \end{aligned}\)

Die Steigung der linearen Funktion welche durch die Punkte \(Q\) und \(P\) geht, beträgt \(m=-2\).