Steigung einer Linearen Funktion

Lineare Funktion Rechner

Der Online Rechner mit Rechenweg von Simplexy kannst du dir lineare Funktionen zeichnen lassen, Nullstellen berechnen, Y-Achsenabschnitte berechnen und viel mehr.



Lineare Funktion Steigung berechnen





Eine Lineare Funktion hat ganz Allgemein die Form
\(f(x)=m\cdot x+b\). Der Graph einer Linearen Funktion ist wie der Name schon sagt eine Gerade. Dabei nennt man \(m\) die Steigung der Geraden und \(b\) nennt man den \(y\)-Achsenabschnitt, also die Stelle an der die Gerade die \(y\)-Achse schneidet. In einem Koordinantensystem wird das aussehen der Geraden, durch die Werte \(m\) und \(b\) festgelegt.

Steigung einer Linearen Funktion

Hier siehst du den Graphen der Funktion \(f(x)=2\cdot x + 1\), in diesem fall wurde \(m=2\) und \(b=1\) gesetzt:

Du siehst bereits an der Funktionsgleichung \(f(x)=2\cdot x + 1\), dass die Steigung der Geraden \(m=2\) ist, doch wie findet man das heraus wenn dir nur der Graph gegeben ist. Das ist ganz einfach, du musst aussgehend von deinem \(y\)-Achsenabschnitt ein Quadrat bzw. eine Einheit nach rechts gehen und dann in \(y\)-Richtung solange nach oben gehen bis du deine Gerade wieder triffst. Du musst dir jetzt nur noch merken wie viele Quadrate du nach link und wie viele Quadrate du nach rechts gegangen bist. Die Steigung bekommst du dann indem du

\(\frac{Quadrate\,nach\,oben\,gegangen}{Quadrate\,nach\,rechts\,gegangen}\) bzw. \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) berechnest.

Im Beispiel von Oben gehst du ausgehend vom \(y\)-Achsenabschnitt ein Quadrat nach rechts, und dann muss man genau zwei Quadrate nach oben gehen um auf die Gerade zu treffen.
Das heißt \(\Delta x = 1\) und \(\Delta y = 2\), der Quotient \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) aus beiden ist also \(\frac{2}{1}=2\).

Eine Lineare Funktion kann auch eine negative Steigung haben, das heißt lediglich dass die Gerade mit größern \(x\)-Werte im kleinere \(y\)-Werte erreicht.

Hier siehst du eine Funktion mit negativer Steigung:

In diesem Beispiel ist die Funktion \(f(x)=-2\cdot x - 1 \), die Steigung
\(m=-2\) und der \(y\)-Achsenabschnitt \(b=-1\). Die Steigung dieser Geraden ist negativ weil die Funktion mit größeren \(x\)-Werten immer kleiner \(y\)-Werte annimmt. Anders als bei einer Funktion mit positiver Steigung ermitteln man die Steigung indem man eine Einheit nach rechts geht und dann so viele Quadrate nach unten geht bis man die Gerade wieder erreicht. Die Steigung berechnet sich bei einer linearen Funktion mit negativer Steigung folgendermaaßen
\(m=-\frac{\Delta y}{\Delta x}\).



Regel

  • Die Steigung einer linearen Funktion berechnet sich über \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\).

  • \(\Delta x\) ist die Anzahl an Einheit die man nach rechts geht. \(\Delta y\) ist die Anzahl an Einheiten die man von da aus benötigt um zur Gerade zu gelangen.

  • Die Steigung ist positiv wenn man nach oben gehen muss um zur Gerade zu gelangen.

  • Die Steigung ist negativ wenn man nach unten gehen muss um zur Gerade zu gelangen.