Potenzregeln
Online Rechner mit Rechenweg
Mit dem Online Rechner von Simplexy kannst du viele Matheaufgaben berechnen und dabei den Rechenweg erhalten. Mit dem Rechner kannst du auch ganz bequem Exponenten vereinfachen.
Potenzregeln
In diesem Kapitel wird das Thema Potenzrechnung behandelt. Wie rechnet man Potenzen aus und welche Potenzregeln gibt es?
Die wichtigen Potenzregeln auf einem Blick
Potenzgesetze
\(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\)
\(a^m\cdot b^m=(a\cdot b)^{m}\)
\(a^{n^{m}}=a^{n\cdot m}\)
\(\frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^{^{n}}\)
\(\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)
\(\frac{1}{x}=x^{-1}\)
Potenzregeln erklärt
Potenzrechnung ist ganz einfach, eine Potenz ist lediglich eine Abkürzung für die Multiplikation. Möchte man zum Beispiel die Zahl \(2\), \(5\) mal mit sich selber multiplizieren so kann man \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \) schreiben.
Das kann auf dauer zur viel Schreibarbeit führen, wesshalb man auch eine andere schreibweise verwenden kann.
Statt \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \) zu schreiben kann man auch \(2^5\) schreiben. In diesem Fall nennt man die \(2\) Basis und die \(5\) wird Exponent genannt.
Regel
\(x^n\), man nennt \(x\) die Basis und \(n\) nennt man Exponent
Beispiele
- \(5^2=5\cdot 5=25\)
- \((1+2)^3=3^3=3\cdot 3\cdot3=27\)
- \(x^0=1\)
- \(x^1=x\)
- \(x^2=x\cdot x\)
- \(x^3=x\cdot x\cdot x\)
- \(x^4=x\cdot x\cdot x\cdot x\)
Potenzregel mit gleicher Basis
Wie geht man vor, wenn die Basis gleich ist und die Exponenten unterschiedlich sind?
Potenzregel bei Multiplikation
Liegen zwei Potenzen mit gleicher Basis vor, die mit einander multipliziert (\(\cdot\)) werden. Dann kann man die Basis stehen lassen und die Exponenten addieren (\(+\)).
Beispiel
\(2^{\color{red}{3}}\cdot 2^{\color{blue}{4}}=2^{{\color{red}{3}}\,+\,{\color{blue}{4}}}=128\)
Diese Potenzregel kann man leicht nachvollziehen, wenn man die Potenz ausschreibt:
\(\begin{aligned} 2^{\color{red}{3}}\cdot 2^{\color{blue}{4}}&={\color{red}{2\cdot 2\cdot 2}}\cdot {\color{blue}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}\\ &=128 \end{aligned}\)
Multiplikation - Potenzregel bei gleicher Basis
Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis, wird die Basis stehen gelassen und die Exponenten werden addiert.
\(a^{\color{red}{n}}\cdot a^{\color{blue}{m}}=a^{{\color{red}{n}}\,+\,{\color{blue}{m}}}\)
Potenzregel bei Division
Bei Potenzen mit gleicher Basis und unterschiedlichem Exponenten, welche dividiert \(:\) werden, bleibt die Basis stehen und die Exponenten werden subtrahierst.
Beispiel
\(\frac{2^{\color{red}{6}}}{2^{\color{blue}{3}}}=2^{{\color{red}{6}}-{\color{blue}{3}}}=2^3=8\)
Diese Potenzregel kann man leicht nachvollziehen, wenn man die Potenz ausschreibt:
\(\begin{aligned} \frac{2^{\color{red}{6}}}{2^{\color{blue}{3}}}&=\frac{{\color{red}{\cancel{2}\cdot \cancel{2}\cdot \cancel{2}\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}}{{\color{blue}{\cancel{2}\cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2}}}}\\ \\ &=2^3=8 \end{aligned}\)
Division - Potenzregel bei gleicher Basis
Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis, wird die Basis stehen gelassen und die Exponenten werden subtrahiert.
\(\frac{a^{\color{red}{n}}}{a^{\color{blue}{m}}}=a^{{\color{red}{n}}-{\color{blue}{m}}}\)
Potenz einer Potenz
Wie geht man vor, wenn eine Potenz eine weitere Hochzahl besitzt?
Beispiel
\(5^{{\color{red}{2}}^{{\color{blue}{3}}}}=5^{{\color{red}{2}}\cdot {\color{blue}{3}}}=5^6=15625\)
Ausgeschrieben hat man das folgende:
\(\begin{aligned} {\color{blue}{(}}5^{{\color{red}{2}}}{\color{blue}{)}}\cdot {\color{blue}{(}}5^{{\color{red}{2}}}{\color{blue}{)}} \cdot {\color{blue}{(}}5^{{\color{red}{2}}}{\color{blue}{)}}=5^{{\color{red}{2}}\,+\,{\color{red}{2}}\,+\,{\color{red}{2}}}=5^6 \end{aligned}\)
Potenz einer Potenz
Wird eine Potenz potenziert, so lässt man die Basis stehen und multipliziert die Exponenten.
\(a^{{\color{red}{n}}^{{\color{blue}{m}}}}=a^{{\color{red}{n}}\cdot {\color{blue}{m}}}\)
Potenzregel mit gleichem Exponenten
Wie lauten die Exponenten Regeln für den Fall, dass die Basis unterschiedlich ist und die Exponenten gleich sind?
Potenzregeln - Multiplikation
Bei der Multiplikation zweier Potenzen mit gleichen Exponenten und unterschiedlicher Basen, werden die Basen multipliziert und der Exponent wird als gemeinsame Hochzahl verwendet.
Beispiel
\({\color{red}{2}}^4\cdot {\color{blue}{5}}^4=({\color{red}{2}}\cdot {\color{blue}{5}})^4=10^4=10000\)
Dieses Vorgehen kann man sich klarmachen, indem man die Potenzen ausschreibt.
\(\begin{aligned} &{\color{red}{2}}\cdot{\color{red}{2}}\cdot{\color{red}{2}}\cdot{\color{red}{2}}\cdot {\color{blue}{5}}\cdot {\color{blue}{5}}\cdot {\color{blue}{5}}\cdot {\color{blue}{5}}\\ &=({\color{red}{2}}\cdot {\color{blue}{5}})\cdot ({\color{red}{2}}\cdot {\color{blue}{5}})\cdot ({\color{red}{2}}\cdot {\color{blue}{5}})\cdot ({\color{red}{2}}\cdot {\color{blue}{5}})\\ &=({\color{red}{2}}\cdot {\color{blue}{5}})^4=10^4=10000 \end{aligned}\)
Multiplikation - Potenzregel bei gleichem Exponent
Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten, werden die Basen multipliziert und der Exponent wird zur gemeinsamen Hochzahl.
\({\color{red}{a}}^m\cdot {\color{blue}{b}}^m=({\color{red}{a}}\cdot {\color{blue}{b}})^m\)
Potenzregeln - Division
Werden unterschiedliche Basen mit gleichem Exponenten geteilt, so muss man die folgende Exponenten Regel verwenden:
Die Basen werden dividiert und der Exponent wird zur gemeinsamen Hochzahl.
Beispiel
\(\frac{{\color{red}{6}}^4}{{\color{blue}{2}}^4}=\big(\frac{{\color{red}{6}}}{{\color{blue}{2}}}\big)^4=3^4=81\)
Dieses Vorgehen kann man sich klarmachen, indem man die Potenzen ausschreibt.
\(\begin{aligned} \frac{{\color{red}{6}}^4}{{\color{blue}{2}}^4}&=\frac{{\color{red}{6}}\cdot {\color{red}{6}}\cdot {\color{red}{6}}\cdot {\color{red}{6}}}{{\color{blue}{2}}\cdot {\color{blue}{2}}\cdot {\color{blue}{2}}\cdot {\color{blue}{2}}}\\ \\ &=\frac{{\color{red}{6}}}{{\color{blue}{2}}}\cdot \frac{{\color{red}{6}}}{{\color{blue}{2}}}\cdot \frac{{\color{red}{6}}}{{\color{blue}{2}}}\cdot \frac{{\color{red}{6}}}{{\color{blue}{2}}}\\ \\ &=\bigg(\frac{{\color{red}{6}}}{{\color{blue}{2}}}\bigg)^4=3^4=81 \end{aligned}\)
Division - Potenzregel bei gleichem Exponent
Bei der Division von Potenzen mit gleichem Exponenten, werden die Basen dividiert und der Exponent wird zur gemeinsamen Hochzahl.
\(\frac{{\color{red}{a}}^n}{{\color{blue}{b}}^n}=\big(\frac{{\color{red}{a}}}{{\color{blue}{b}}}\big)^n\)
Exponent einer negativen Zahl berechnen
Wie berechnet man den Exponenten einer negativen Zahl aus? In so einem Fall hängt es davon ab wie die Klammer gesetzt ist und ob der Exponent eine gerade oder eine Ungerade Zahl ist.
Beispiel
- \((-3)^2=(-3)\cdot (-3)=9\)
- \((-3)^3=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=9\cdot (-3) = -27\)
- \(-(3)^2=-3\cdot 3=-9\)
- \(-(3)^3=-(3)\cdot 3\cdot 3= -27\)
Wie du siehst hängt es also zum einen davon ab wie die Klammer gesetzt ist und zum anderen davon ob der Exponent gerade oder ungerade ist.
Regel
\((-x)^{gerade\,Zahle}\), das Ergebnis wird positiv sein
\((-x)^{ungerade\,Zahle}\), das Ergebnis wird negativ sein
Potenzgesetze
Einige Potenzen können kompliziert wirken, solche Ausdrücke lassen sich mit Hilfe der Potenzgesetze bzw. der Potenzregeln sehr leicht vereinfachen
Potenzgesetze
\(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\)
\(a^m\cdot b^m=(a\cdot b)^{m}\)
\(a^{n^{m}}=a^{n\cdot m}\)
\(\frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^{^{n}}\)
\(\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)
\(\frac{1}{x}=x^{-1}\)
Mit diesen Potenzgesetzen kann man jeden Potenzausdruck vereinfachen oder lösen.
Zu jedem Potenzgesetz ein Beispiel:
- \(3^2\cdot 3^4=3^{2+4}=3^6=729\)
- \(2^3\cdot 4^3=(2\cdot 4)^{3}=8^3=512\)
- \(4^{2^{3}}=4^{2\cdot 3}=4^6=4096\)
- \(\frac{3^2}{4^2}=(\frac{3}{4})^{^{2}}=0,5625\)
- \(\frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2=9\)
- \(\frac{1}{2}=2^{-1}\)
Wie du siehst ist das Rechnen mit Potenzen einfach, vorallem dann wenn man sich die Potenzregeln merkt. Wie immer kannst du probieren die folgenden Aufgaben zu lösen, so kannst du das Potenzrechnen üben.
Dein Ergebnis kannst du mit dem Schritt für Schritt Rechner von Simplexy überprüfen.
Aufgaben:
- \(4^2=\)
- \((2^3)^0=\)
- \((3+4)^2\cdot (2-1)^4=\)
- \(\frac{5^2}{2^2}=\)
- \(\frac{5^2}{5^3}=\)
- \(\bigl((3+2)^4-(4-2)^3\bigr)^5=\)