Mitternachtsformel


Mitternachtsformel online Rechner

Mit dem Mitternachtsformel Rechner von Simplexy kannst du ganz simple die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen, eine Parabel zeichnen lassen, die Mitternachtsformel online berechnen uvm.



Nullstellen einer quadratischen Funktion







Eine Parabel bzw. eine quadratische Funktion wird in der Allgemeinform wie folgt dargestellt.

\(f(x)=ax^2+bx+c\)

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion in der Allgemeinform bzw. in der Normalform zu berechnen benötigt man die Mitternachtsformel bzw. die pq-Formel. Manchmal wird die Mitternachtsformel auch abc-Formel genannt.

Man erhält die Nullstellen der Parabel indem man die Funktionsgleichung gleich Null setzt.

\(ax^2+bx+c=0\)

Man erhält die Lösung dieser Gleichung mit der Mitternachtsformel.

Mitternachtsformel

\(x_{1/2}=\)\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Fallunterscheidung:

  • \(x_{1}=\)\(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

  • \(x_{2}=\)\(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Die Mitternachtsformel-Formel hat zwei Lösungen \(x_{1/2}\), denn eine quadratische Funktion kann bis zu zwei Nullstellen bestizen. Eine Parabel kann keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen. Um die Anzahl an Nullstellen zu berechnen, musst du die Diskriminante betrachten.

\(D=b^2-4ac\)

Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel in der Mitternachts-Formel. Es gilt:


Regel:

Über die Diskriminante erhält man die Anzahl an Nullstellen

  • Wenn \(D < 0\) ist, dann existieren keine Nullstellen.
  • Wenn \(D=0\) ist, dann existiert genau eine Nullstelle.
  • Wenn \(D>0\) ist, dann existieren zwei Nullstellen.


Im unteren Bild sind die Graphen zweier Parabeln abgebildet, die blaue Parabel besitzt keine Nullstellen während die rote Parabel zwei Nullstellen besitzt.


Regel:

Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen.
Die Nullstellen von \(f(x)=ax^2+bx+c\) berechnen sich mit der Mitternachtsformel:

\(x_{1/2}=\)\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)



Nullstellen von Parabeln berechnen

Vorgehen

  1. Quadratische Funktion in die Normalform bringen.

  2. \(a,b\) und \(c\) aus der Normalform ablesen.

  3. \(a,b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen.

  4. Mitternachtsformel ausrechnen.


Beispiel 1:

\(f(x)=2x^2-12x-14\)

Die Funktion ist bereits in der Normalform angegeben. Wir gehen sofort zum zweiten Schritt über. Die werte \(a,b\) und \(c\) können wir ablesen.

\(a=2,\) \(b=-12\) und \(c=-14\)

Diese Werte setzen wir in die Mitternachtsformel ein.

\(\begin{aligned} x_{1/2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \\ &=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot 2\cdot (-14)}}{2\cdot 2}\\ \\ &=\frac{12\pm\sqrt{144+112}}{4}\\ \\ &=\frac{12\pm\sqrt{256}}{4}\\ \\ &=\frac{12\pm 16}{4}\\ \end{aligned}\)

Fallunterscheidung:

  • \(x_{1}=\)\(\frac{12-16}{4}\)\(=-1\)

  • \(x_{2}=\)\(\frac{12+16}{4}\)\(=7\)

Die Nullstellen der Parabel befinden sich somit bei
\(x_1=-1\) und \(x_2=7\).


Beispiel 2:

\(f(x)=4x^2-16x+16\)

Die Funktionsgleichung befindet sich schon in der Normalform. Wir können damit direkt zum zweiten Schritt springen. Wir müssen also \(a,b\) und \(c\) ablesen.

\(a=4,\) \(b=-16\) und \(c=16\)

Nun können wir \(a,b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen.

\(\begin{aligned} x_{1/2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \\ &=\frac{-(-16)\pm\sqrt{(-16)^2-4\cdot 4\cdot 16}}{2\cdot 4}\\ \\ &=\frac{16\pm\sqrt{256-256}}{8}\\ \\ &=\frac{16\pm\textcolor{blue}{\sqrt{0}}}{8}\\ \\ &=\frac{16\pm 0}{8}\\ \\ &=\frac{16}{8}\\ \\ &=2\\ \end{aligned}\)

In diesem Beispiel hat die Parabel nur eine Nullstelle, da
die Diskriminante \(D\) gleich Null ist.

\(D=b^2-4ac=0\)

Die einzige Nullstelle befindet sich bei \(x_0=2\).


Beispiel 3:

\(f(x)=2x^2-8x+11\)

Die Funktion befindet sich bereits in der Normalform. Wir können also direkt zum zweiten Schritt übergehen und \(a,b\) und \(c\) ablesen.

\(a=2,\) \(b=-8\) und \(c=11\)

Nun müssen wir \(a,b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen.

\(\begin{aligned} x_{1/2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &=\frac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 2\cdot 11}}{2\cdot 2}\\ &=\frac{8\pm\sqrt{64-88}}{4}\\ &=\frac{16\pm\textcolor{red}{\sqrt{-24}}}{4}\\ \end{aligned}\)

Die Parabel hat also keine Nullstelle. In den reellen Zahlen ist die Wurzel einer negativen Zahl nicht definiert. Aus diesem Grund hat die Parabel keine Nullstellen. Sie befindet sich vollständig oberhalb der \(x-\)Achse.

Nutze den Mitternachtsformel-Rechner von Simplexy kannst du Nullstellen einer quadratischer Funktionen berechnen. Gib dazu am besten zur Probe mal \(x^2+2x-5=0\) ein, du erhältst die Nullstellen und den Rechenweg.
Hier kommst du zum Rechner.