Scheitelpunktform in Normalform umrechnen


Online Rechner

Mit dem Parabelrechner von Simplexy kannst du ganz einfach die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen, eine Parabel zeichnen lassen, die Scheitelpunktform in die Normalform umrechnen uvm.



Scheitelpunktform



Für eine quadratische Funktion gibt es zwei Möglichkeiten die Funktionsgleichung auszudrücken. Zum einen gibt es die Normalform und zum anderen die Scheitelpunktform. Dabei handelt es sich lediglich um mathematische Schreibweisen. Eine Parabel kann gleichzeitig in der Scheitelpunktform als auch in der Normalform geschrieben werden. Ist einem die Funktionsgleichung einer Parabel in der Scheitelpunktform gegeben, so kann man eine Umwandlung von der Scheitelpunktform in die Normalform durchführen. Genauso kann man die Normalform in die Scheitelpunktform umrechnen.


Normalform und Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

    Scheitelpunktform

    \(f(x)=a(x+d)^2+e\)


    Normalform

    \(f(x)=ax^2+bx+c\)


Der Vorteil der Scheitelpunktform (oft auch Scheitelform genannt) liegt darin, dass man den Scheitelpunkt der Parabel direkt ablesen kann.

Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

Die Scheitelpunktform einer Parabel lautet:

Scheitelpunktform

\(f(x)=a(x\textcolor{blue}{+}\textcolor{red}{d})^2\textcolor{green}{+e}\)

Die Koordinaten des Scheitelpunktes können direkt abgelesen werden. Der Scheitelpunkt befindet sich bei:

\(S(\textcolor{blue}{-}\textcolor{red}{d}|\textcolor{green}{e})\)




Achtung!

Ein \(\textcolor{blue}{+}\textcolor{red}{d}\) in der Scheitelpunktform führt dazu, dass der x-Wert vom Scheitelpunkt bei \(\textcolor{blue}{-}\textcolor{red}{d}\) liegt. Hier ist es mit den Vorzeichen genau umgekehrt. Mehr dazu in diesem Video.


Scheitelpunktform in Normalform umrechnen


Da ein und dieselbe Parabel sowohl in der Scheitelpunktform als auch in der Normalform ausgedrückt werden kann, ist es nicht verwunderlich, dass man zwischen den zwei Darstellungsformen wechseln kann. Hat man eine Parabel in der Scheitelpunktform gegeben, so kann man ganz einfach die jeweilige Normalform der Parabel berechnen. Dazu muss man den Term in Klammern und das Quadrat explizit ausrechnen, um das zu verstehen machen wir am besten ein paar Beispiele.

Beispiele

1. Beispiel

Gegeben ist die Funktion:

\(y=2(x-1)^2-1\)

Führe eine Umrechnung von der Scheitelpunktform in die Normalform durch.

Lösung

Um von der Scheitelpunktform in die Normalform wechseln zu können, müssen wir den Term in Klammern und das Quadrat ausrechnen.

\((x-1)^2=(x-1)(x-1)\)

Damit haben wir das Quadrat ausgeführt. Nun müssen wir die Klammern auflösen, das machen wir indem wir jeden Term mit jedem multiplizieren.

\(\begin{aligned} (x-1)(x-1)&=x^2-x-x+1\\ \\ &=x^2-2x+1 \end{aligned}\)

Wir wissen nun, \((x-1)^2=x^2-2x+1\), dass können wir also in unsere Funktionsgleichung einsetzen:

\(\begin{aligned} y&=2(x-1)^2-1\\ \\ &=2(x^2-2x+1)-1\\ \\ &=2x^2-4x+2-1\\ \\ &=2x^2-4x+1 \end{aligned}\)

Die Normalform der Funktionsgleichung lautet damit:

\(y=2x^2-4x+1\)

So einfach kann man die Scheitelpunktfrom in die Normalform umstellen.

2. Beispiel:

Gegeben ist die Funktion

\(\begin{aligned} y=\frac{1}{2}(x+2)^2 \end{aligned}\)

Kannst du die Parabel von der Scheitelpunktform in die Normalform umrechnen?

Lösung

Um von der Scheitelpunktform in die Normalform wechseln zu können, müssen wir den Term in Klammern und das Quadrat ausrechnen.

\((x+2)^2=(x+2)(x+2)\)

Damit haben wir das Quadrat ausgeführt. Nun müssen wir die Klammern auflösen, das machen wir indem wir jeden Term mit jedem multiplizieren.

\(\begin{aligned} (x+2)(x+2)&=x^2+2x+2x+4\\ \\ &=x^2+4x+4 \end{aligned}\)

Wir wissen nun, \((x+2)^2=x^2+4x+4\), dass können wir also in unsere Funktionsgleichung einsetzen:

\(\begin{aligned} y&=\frac{1}{2}(x+2)^2\\ \\ &=\frac{1}{2}(x^2+4x+4)\\ \\ &=\frac{1}{2}x^2+2x+2 \end{aligned}\)

Die Normalform der Funktionsgleichung lautet damit:

\(\begin{aligned} y=\frac{1}{2}x^2+2x+2 \end{aligned}\)

3. Beispiel:

Gegeben ist die Funktion

\(\begin{aligned} y=x^2+2 \end{aligned}\)

Stelle die Parabel in die Normalform um.

Lösung

In dem Fall sind Normalform und Scheitelpunktform der Parabel identisch. Die Funktionsgleichung ist damit bereits in der Normalform angegeben.