Scheitelpunktform in Normalform umrechnen


Online Rechner

Mit dem Parabelrechner von Simplexy kannst du ganz simple die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen, eine Parabel zeichnen lassen und uvm.



Wiederholung Scheitelpunktform





Eine quadratischen Funktion kann über zwei Arten ausgedrückt werden. Es gibt die Normalform einer Parabel und es gibt die Scheitelpunktform einer Parabel. Jede quadratische Funktion kann in beiden Formen angegeben werden. Hat man eine quadratische funktion in der Normalform gegeben, so kann man diese umwandeln in die Scheitelpunktform. Eine umwandlung von der Scheitelpunktform in die Normalform ist ebenfalls möglich. Das Aussehen der Parabel ist unabhängig davor wie man die quadratische Funktion angibt, es sind ledigleich zwei verschiebene Schreibweisen für die gleiche Parabel.


Normalform und Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

  • Scheitelpunktform:
    \(f(x)=a(x+d)^2+e\)


  • Normalform:
    \(f(x)=ax^2+bx+c\)



Der Vorteil der Scheitelpunktform (oft auch Scheitelform genannt) liegt darin, dass man den Scheitelpunkt der Parabel direkt ablesen kann.

Scheitelpunktform einer quadratischen Funtion

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet:

Scheitelpunktform:
\(f(x)=a(x\textcolor{blue}{+}\textcolor{red}{d})^2\textcolor{green}{+e}\)

Die Koordinaten des Scheitelpunktes können direkt abgelesen werden. Der Scheitelpunkt befindet sich bei:

\(S(\textcolor{blue}{-}\textcolor{red}{d}|\textcolor{green}{e})\)



Achtung!

Ein \(\textcolor{blue}{+}\textcolor{red}{d}\) in der Scheitelpunktform führt dazu das der \(x\)-Wert des Scheitelpunkts bei \(\textcolor{blue}{-}\textcolor{red}{d}\) liegt. Hier ist es mit den Vorzeichen genau umgekehrt. Mehr dazu im Video und in den Beispielen...

Scheitelpunktform in Normalform umrechnen



Da ein und dieselbe Parabel sowohl in der Scheitelpunktform als auch in der Normalform ausgedrückt werden kann ist es nicht verwunderlich, dass man zwischen den zwei Darstellungsformen wechseln kann. Hat man eine Parabel in der Scheitelpunktform gegeben, so kann man ganz einfach die jeweilige Normalform der Parabel wechseln. Dazu muss man den Term in Klammern und das Quadrat explizit ausrechnen, um das zu verstehen machen wir am besten ein Beispiel:

1. Beispiel:

Gegeben ist die Funktion:
\(y=2(x-1)^2-1\)
forme die Funktionsgleichung in die Normalform um.

Um von der Scheitelpunktform in die Normalform zu wechseln müssen wir den Term in Klammern und das Quadrat ausrechnen.

\((x-1)^2=(x-1)(x-1)\)

Damit haben wir das Quadrat ausgeführt. Nun müssen wir die Klammern auflösen, das machen wir indem wir jeden Term mit jedem multiplizieren.

\(\begin{aligned} (x-1)(x-1)&=x^2-x-x+1\\&=x^2-2x+1 \end{aligned}\)

Wir wissen nun, \((x-1)^2=x^2-2x+1\), dass können wir also in unsere Funktionsgleichung einsetzen:

\(\begin{aligned} y&=2(x-1)^2-1=2(x^2-2x+1)-1\\&=2x^2-4x+2-1\\&=2x^2-4x+1 \end{aligned}\)

Die Normalform der Funktionsgleichung lautet damit:

\(y=2x^2-4x+1\)

So einfach kann man die Scheitelpunktfrom in die Normalform umstellen.

2. Beispiel:

Gegeben ist die Funktion:
\(y=\)\(\frac{1}{2}\)\((x+2)^2\)
forme die Funktionsgleichung in die Normalform um.

Um von der Scheitelpunktform in die Normalform zu wechseln müssen wir den Term in Klammern und das Quadrat ausrechnen.

\((x+2)^2=(x+2)(x+2)\)

Damit haben wir das Quadrat ausgeführt. Nun müssen wir die Klammern auflösen, das machen wir indem wir jeden Term mit jedem multiplizieren.

\(\begin{aligned} (x+2)(x+2)&=x^2+2x+2x+4\\&=x^2+4x+4 \end{aligned}\)

Wir wissen nun, \((x+2)^2=x^2+4x+4\), dass können wir also in unsere Funktionsgleichung einsetzen:

\(\begin{aligned} y=\frac{1}{2}(x+2)^2&=\frac{1}{2}(x^2+4x+4)\\&=\frac{1}{2}x^2+2x+2 \end{aligned}\)

Die Normalform der Funktionsgleichung lautet damit:

\(y=\)\(\frac{1}{2}\)\(x^2+2x+2\)

3. Beispiel:

Gegeben ist die Funktion:
\(y=x^2+2\)
stelle die Funktionsgleichung in die Normalform um.

In dem Fall sind Normalform und Scheitelpunktform der Parabel identisch. Die Funktionsgleichung ist damit bereits in der Normalform angegeben.