Additionsverfahren
Online Rechner
Der Online Rechner von Simplexy kann dir beim Lösen von linearen Gleichungssystemen Helfen.
Das Additionsverfahren
Beim Additionsverfahren versucht man eine der beiden Variablen des LGS zu eliminieren. Man eliminiert eine Variable in dem man am LGS verschiedene Rechnoperationen durchführt, je geschickter man vorgeht desto schneller kann eine Variable eliminieren werden.
Das Vorgehen beim Additionsverfahren wird im nächste Beispiel erläutert.
Beispiel:
Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren lösen:
\(I.\,\,\,\,\,\,2x+4y=20\)
\(II.\,\,\,\,x+3y=12\)
Man muss sich zunächst dazu entscheiden welche Variable man eliminieren möchte. Wir entscheiden uns für die Variable \(x\).
Es ist vollkomen Egal für welche Variable man sich entscheidet.
Bei manchen LGS ist es womöglich rechnerisch einfacher die eine Variable zu eliminieren als die andere.
Wir multiplizieren Gleichung \(II\) mit \(2\) und erhalten.
\(II.\,\,\,\,x+3y=12\)
\(II.\,\,\,\,x+3y=12\,\,\,\,\,\,|\cdot 2\)
\(II\,\,\,\,2x+6y=24\)
Jetzt ziehen wir Gleichgung \(I\) von Gleichung \(II\) ab und erhalten:
\(II-I\)
\(2x+6y-(2x+4y)=24-20\)
\(2y=4\)
\(2y=4\,\,\,\,\,\,\,|:2\)
\(y=2\)
Jetzt können wir \(y=2\) in Gleichung \(I\) einsetzten.
\(I.\,\,\,\,\,\,2x+4y=20\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x+4\cdot 2=20\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x+8=20\,\,\,\,|-8\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x=12\,\,\,\,\,|:2\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=6\)
Damit haben wir die Lösung des Gleichungssystems gefunden, das Ergebnis lautet:
\(x=6\) und \(y=2\).
Erklärung:
Wir haben die zweite Gleichung mit \(2\) multipliziert weil \(2\) das kleinste gemeinsame Vielfache von \(1\) und \(2\) ist. Dabei ist \(1\) der Vorfaktor von \(x\) in der zweiten Gleichung ist und \(2\) der Vorfaktor von \(x\) in der ersten Gleichung.
Es ist vollkomen egal durch welchen Rechenweg man eine Variable eliminiert. Viele verschiedene Rechenoperationen können dazu führen das eine Variable eliminiert wird.
Vorgehensweise beim Additionsverfahren
Regel:
Vorgehensweise beim Additionsverfahren
- Wähle welche der zwei Variablen du eliminieren möchtest.
- Überlege wie du am besten vorgehen musst um die ausgewählte Variable zu eliminieren.
- Löse die Gleichung in der die eine Variable eliminiert wurde.
- Setze die Lösung für die Variable in einer der Ausgangsgleichungen und ermittel die verbleibenede Variable.
Weiteres Beispiel:
\(I.\,\,\,\,\,\,2x+3y=20\)
\(II.\,\,\,\,x+2y=12\)
Dieses mal entscheiden wir uns dafür die Variable \(y\) zu eliminieren.
Vor dem \(y\) steht in Gleichung \(I\) eine \(3\) und vor der \(II\) Gleichung steht vor dem \(y\) eine \(2\) ist. Der kleinste gemeiname Vielfache von \(3\) und \(2\) ist \(6\). Das Ziel ist es nun in beiden Gleichungen vor dem \(y\) eine \(6\) zu bekommen.
Indem wir Gleichung \(I\) mit \(2\) multiplizieren und Gleichung \(II\) mit 3 multiplizieren erreichen wir, dass vor dem \(y\) in beiden Gleichungen eine \(6\) steht.
\(I.\,\,\,\,\,\,2x+3y=20\,\,\,\,\,|\cdot 2\)
\(II.\,\,\,\,x+2y=12\,\,\,\,\,|\cdot 3\)
\(I.\,\,\,\,\,\,4x+6y=40\)
\(II.\,\,\,\,3x+6y=36\)
Jetzt steht vor dem \(y\) in beiden Gleichungen eine \(6\), wenn wir jetzt die eine Gleichung von der anderen abziehen wird die Variable \(y\) eliminiert. Du kannst nun von hier aus versuchen das Gleichungssystem selber zu lösen.
Solltest du Hilfe brauchen, kannst du den Online Rechner von Simplexy verwenden.