Einsetzungsverfahren


Online Rechner

Der Online Rechner von Simplexy kann dir beim Lösen von linearen Gleichungssystemen Helfen.



Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode mit der lineare Gleichungssysteme gelöst werden können. Dabei geht man so vor, dass man zunächst eine der Gleichungen nach einer der Variablen umstellt. Darauf hin setzt man den Ausdruck für diese Variable in die andere Gleichung ein. Nun muss man die dadurch neu entstandene Gleichung lösen. Im Folgenden ist die Vorgehensweise Schritt für Schritt aufgelistet. Im Anschluss findest du noch einige Beispielaufgaben.

Regel:

Vorgehensweise beim Einsetzungsverfahren

  • Löse eine Gleichung nach einer der Variablen.
  • Setze den Ausdruck für die Variable aus dem ersten Schritt in die 2. Gleichung.
  • Die daraus entstandene Gleichung löst du nun nach der noch vorhandenen Variable.
  • Die Lösung der zweiten Gleichung wird in die ersten Gleichung eingesetzt und wieder gelöst.


Beispielrechnung für das Einsetzungsverfahren:

\(I.\,\,\,\,\,\,2x+4y=20\)

\(II.\,\,\,\,x+3y=12\)

Zunächst wird eines der beiden Gleichungen gelöst, wir entscheiden uns dafür die \(II\) Gleichung nach \(x\) auf zu lösen.

Gleichung \(II\) nach \(x\) lösen

\(x+3y=12\,\,\,\,\,\,\,\,|-3y\)

\(x=12-3y\)

Einsetzen in Gleichung \(I\)

Nun setzten wir \(x=12-3y\) in Gleichung \(I\) ein und erhalten:

\(2x+4y=2(12-3y)+4y=20\)

\(2(12-3y)+3y=20\)

Gleichung nach der enthaltenen Variable lösen

\(2(12-3y)+4y=20\)

\(24-6y+4y=20\)

\(24-6y+4y=20\,\,\,\,\,\,|-24\)

\(-6y+4y=-4\)

\(-2y=-4\,\,\,\,\,\,|:(-2)\)

\(y=2\)

Die Lösung für \(y\) in die umgeformte Gleichung aus dem ersten Schritt einsetzen.

\(x=12-3y\)

\(x=12-3\cdot 2\)

\(x=12-6\)

\(x=6\)

Als Lösung haben wir ermittelt:

\(x=6\) und \(y=2\)

Um das Ergebnis zu überprüfen muss man ledigleich das \(x\) und \(y\) in die ausgangs Gleichungen einsetzten. Dazu setzen wir \(x=6\) und \(y=2\) in Gleichung \(I\) und \(II\) ein.

Probe:

\(I.\,\,\,\,\,\,2\cdot 6+4\cdot 2=20\)

\(II.\,\,\,\,6+3\cdot 2=12\)

Da beide Gleichungen durch unsere Lösung erfüllt werden, können wir darauf schließen das wir richtig gerechnet haben und das Ergebis stimmt.

Welche Lösungen sind bei Einsetzungsverfahren möglich ?

Wie du im letzten Beispiel gesehen hast, haben wir das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren gelöst. Wir haben eine sogenannte Eindeutige Lösung ermittelt, man sagt dazu eindeutig weil es die einzige Lösung zu diesem linearen Gleichungssystem ist.

Ein lineares Gleichungssystem kann unter Umständen mehr als eine Lösung besitzen, es können sogar unendlich viele Lösungen existieren.

Beispiel:

Es folgt nun ein lineares Gleichungssystem das unendlich vielen Lösungen besitzt.

\(I.\,\,\,\,\,\,2x+4y=20\)

\(II.\,\,\,\,x+2y=10\)

Probieren wir das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen.

Gleichung \(II\) nach \(x\) lösen

\(x+2y=10\,\,\,\,\,\,\,\,|-2y\)

\(x=10-2y\)

Einsetzen in Gleichung \(I\)

Nun setzten wir \(x=10-2y\) in Gleichung \(I\) ein und erhalten:

\(2x+4y=2(10-2y)+4y=20\)

\(2(12-3y)+3y=20\)

Gleichung nach der enthaltenen Variable lösen

\(2(10-2y)+4y=20\)

\(20-4y+4y=20\)

\(0=0\)

Weiter rechnen ist an dieser Stelle nicht möglich.

Was bedeutet das für unsere Gleichung ?

Bei unserem Gleichungssystem handelt es sich um eine allgemeine Aussage.

Das Gleichungssystem besitzt deshalb unendlich viel Lösungen.

Um trotzdem eine Lösung anzugeben muss man eine der zwei Variablen frei wählen. Wählen wir zum beispielsweise \(x=5\) dann folgt für Gleichung \(I\).

\(2x+4y=20\)

\(2\cdot 5+4y=20\)

\(10+4y=20\)

Die Gleichung kann man nun nach \(y\) lösen.

\(10+4y=20\,\,\,\,\,\,\,|-10\)

\(4y=10\)

\(4y=10\,\,\,\,\,\,\,|:4\)

\(y=\frac{10}{4}\)

Es ist vollkommen egal welche Variable man wie Wählt. Wenn man eine Variable gewählt hat dann darf man sie im laufe der Rechnung nicht mehr ändern, man müsste sonst das System von beginn an neu Lösen.

Du kannst mal überprüfen ob \(x=5\) und \(y=\frac{10}{4}\) das Gleichungssystem löst. Versuch auch mal eine andere Lösung des Systems zu finden indem du statt \(x=5\) die Variable \(x\) anders wählst.



Lineare Gleichungssystems die kein Lösung besitzen gibt es auch.

Es folgt nun ein lineares Gleichungssystem zu dem man keine Lösung finden kann.

Beispiel:

Lineares Gleichungssystem ohne Lösungen.

\(I\,\,\,\,\,\, y+3x=9\)

\(II\,\,\,\, y+3x=7\)

Probieren wir das Gleichungssystem zu lösen.

Gleichung \(I\) nach \(y\) lösen

\(y+3x=9\,\,\,\,\,\,\,\,|-3x\)

\(y=9-3x\)

Einsetzen in Gleichung \(II\)

Nun setzten wir \(y=9-3x\) in Gleichung \(II\) ein und erhalten:

\(y+3x=7\)

\(9-3x+3x=7\)

Gleichung nach der enthaltenen Variable lösen

\(9-3x+3x=7\)

\(9=7\)

Die Letzte Aussage ist eindeutig ein widerspruch, denn \(9=7\) kann niemals stimmen. Wenn man auf so etwas stöst dann weist man, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

Regel:

Lösbarkeit von LGS

  • Wenn das System genau eine Lösung besitzt dann nennt man diese Lösung eindeutige Lösung
  • Ein LGS kann keine Lösungen besitzen.
  • Ein LGS kann unendlich viele Lösungen besitzen.