Gleichsetzungsverfahren


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Der Online Rechner von Simplexy kann dir beim Lösen von linearen Gleichungssystemen Helfen.



Das Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode mit der linearer Gleichungssysteme gelöst werden können. Man versucht beim Gleichsetzungsverfahren beide Gleichungen des Systems nach der gleichen variable zu lösen. Die zwei entstandenen Ausdrücke musst man dann gleichsetzten und diesen Ausdruck dann nach der verbleibenden Variable lösen. Anschließend wird das Ergebnis in einen der Ausdrücke aus dem ersten Schritt eingesetzt, nun muss nur noch der dadurch entstandene Ausdruck gelöst werden.

Das genaue Vorgehen beim Gleichsetzungsverfahren wird im Folgenden durch Beispiele erläutert.

Regel:

Vorgehensweise beim Einsetzungsverfahren

  • Löse eine der Gleichungen nach einer der Variablen.
  • Setze das Ergebnis dieser Gleichung in die 2. Gleichung des LGS.
  • Die entstandene Gleichung wird ebenfalls nach der enthaltenen Variable gelöst.
  • Die Lösung der zweiten Gleichung wird anschließend in die erste Gleichung eingesetzt und wieder gelöst.


Beispiel:

Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren lösen.

\(I.\,\,\,\,\,\,2x+4y=20\)

\(II.\,\,\,\,x+3y=12\)

Zubeginn formt man beide Gleichungen nach der gleichen Variable um, dabei ist es egal für welche Variable man dies tut. Wir entscheiden und mal für \(x\).

Gleichung \(I\) und \(II\) nach \(x\) lösen.

\(I.\,\,\,\,\,2x+4y=20\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x+4y=20\,\,\,\,\,\,\,|-4y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x=20-4y\,\,\,\,\,\,\,|:2\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\) \(\frac{20-4y}{2}\)



\(II.\,\,\,\,x+3y=12\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x+3y=12\,\,\,\,\,\,\,|-3y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=12-3y\)

Die zwei Ausdrücke für \(x\) gleichsetzen und nach \(y\) umstellen.

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\) \(\frac{20-4y}{2}\)\(=12-3y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) \(\frac{20-4y}{2}\)\(=12-3y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) \(\frac{20-4y}{2}\)\(=12-3y\,\,\,\,\,\,|\cdot 2\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20-4y\)\(=2(12-3y)\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20-4y\)\(=24-6y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20-4y\)\(=24-6y\,\,\,\,\,|+6y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20+2y\)\(=24\,\,\,\,\,|-20\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2y\)\(=4\,\,\,\,\,|:2\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y\)\(=2\)

Nun müssen wir nur noch \(y=2\) in einem der beiden Ausdrücke von Schritt eins einsetzen.

Einsetzen von \(y=2\) in \(x=12-3y\).

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=12-3y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=12-3\cdot 2\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=6\)

Damit haben wir als Lösung

\(x=6\) und \(y=2\)

Um das Ergebnis zu überprüfen muss man ledigleich \(x=6\) und \(y=2\) in Gleichung \(I\) und \(II\) einsetzen.

Übrigens ist es egal nach welcher Variable man Zubeginn die zwei Gleichungen umstellt.

Vorgehensweise beim Gleichsetzungsverfahren

Regel:

Vorgehensweise beim Gleichsetzungsverfahren

  • Stelle beide Gleichungen nach der selben Variable um.
  • Die zwei enstandenen Ausdrücke gleichsetzen.
  • Die dadurch enstandenen nach der verbleibenden Variable auflösen.
  • Die Lösung in einem der Gleichungen aus Schritt eins einsetzen und so die letzte Variable berechnen.