Lineare Gleichungssysteme


Lineares Gleichungssystem Rechner

Falls du beim Lösen von Linearen Gleichungssystemen hilfe benötigst kannst du im Rechner von Simplexy eines der zwei gleichungen eingeben und so einen Hinweis bekommen.



Lineare Gleichungssysteme

Einführung:

Was ist ein lineares Gleichungssystem ?

Eine lineare Gleichung hat die Form \(7x+1=0\), liegen nun zwei oder mehr solcher linearen Gleichungen vor, mit mehr als einer Variable so spricht man von einem linearen Gleichungssystem.

Hier mal ein Beispiel:

\(I.\,\,\,\,\,\,\, x+y=30\)

\(II.\,\,\,\,\, 2x+4y=80\)

Das ziel ist nun sowohl \(x\) als auch \(y\) zu ermitteln. Dabei müssen \(x\) und \(y\) beide Gleichungen erfüllen. Es gibt mehrere Lösungverfahren um das lineare Gleichungssystem zu lösen.

Lösungsverfahren:

  • Einsetzungsverfahren
  • Gleichsetzungsverfahren
  • Additionsverfahren

Das Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren formst du eine der Gleichungen nach einer der Variablen um und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung ein. Darauf hin löst du die zweite Gleichung und verwendest deren Lösung um wiederum die erste Gleichung zu Lösen.

Regel:

Vorgehensweise beim Einsetzungsverfahren

  • Eine Gleichung nach einer der Variablen lösen.
  • Das Ergebnis dieser Gleichung in die 2. Gleichung setzen.
  • Die neu entstandene Gleichung ebenfalls nach der enthaltenen Variable lösen.
  • Die Lösung der zweiten Gleichung wird in die ersten Gleichung eingesetzt und wieder gelöst.


Beispiel für das Einsetzungsverfahren

\(I.\,\,\,\,\,\,2x+4y=20\)

\(II.\,\,\,\,x+3y=12\)

Wir lösen zunächst eines der beiden Gleichungen, nehmen wir mal die \(II\) Gleichung und lösen diese nach \(x\) auf.

Gleichung \(II\) nach \(x\) lösen

\(x+3y=12\,\,\,\,\,\,\,\,|-3y\)

\(x=12-3y\)

Einsetzen in Gleichung \(I\)

Nun setzten wir \(x=12-3y\) in Gleichung \(I\) ein und erhalten:

\(2x+4y=2(12-3y)+4y=20\)

\(2(12-3y)+3y=20\)

Gleichung nach der enthaltenen Variable lösen

\(2(12-3y)+4y=20\)

\(24-6y+4y=20\)

\(24-6y+4y=20\,\,\,\,\,\,|-24\)

\(-6y+4y=-4\)

\(-2y=-4\,\,\,\,\,\,|:(-2)\)

\(y=2\)

Die Lösung für \(y\) in die umgeformte Gleichung aus dem ersten Schritt einsetzen.

\(x=12-3y\)

\(x=12-3\cdot 2\)

\(x=12-6\)

\(x=6\)

Damit haben wir als Lösung \(x=6\) und \(y=2\)

Um dein Ergebnis zu überprüfen musst du ledigleich \(x=6\) und \(y=2\) in Gleichung \(I\) und \(II\) einsetzen

Probe:

\(I.\,\,\,\,\,\,2\cdot 6+4\cdot 2=20\)

\(II.\,\,\,\,6+3\cdot 2=12\)

Wie du siehst werden beide Gleichung durch unsere Lösung erfüllt.

Mögliche Lösungen beim Einsetzungsverfahren

In dem obigen Beispiel hast du gesehen, das wir das Gleichungssystem mittels Einsetzungsverfahren gelöst haben. Die Lösung die wir ermittelt haben nennt man Eindeutige Lösung, man sagt eindeutig weil es die einzige Lösung zu diesem linearen Gleichungssystem ist.

Ein lineares Gleichungssystem kann mehr als eine Lösung besitzen, es können sogar unendlich viele Lösungen existieren.

Beispiel: Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen.

\(I.\,\,\,\,\,\,2x+4y=20\)

\(II.\,\,\,\,x+2y=10\)

Probieren wir mal dieses Gleichungssystem zu lösen.

Gleichung \(II\) nach \(x\) lösen

\(x+2y=10\,\,\,\,\,\,\,\,|-2y\)

\(x=10-2y\)

Einsetzen in Gleichung \(I\)

Nun setzten wir \(x=10-2y\) in Gleichung \(I\) ein und erhalten:

\(2x+4y=2(10-2y)+4y=20\)

\(2(12-3y)+3y=20\)

Gleichung nach der enthaltenen Variable lösen

\(2(10-2y)+4y=20\)

\(20-4y+4y=20\)

\(0=0\)

An dieser Stelle können wir nicht weiterrechnen.

Was heißt das jedoch für unsere Gleichung ?

Bei unserer Gleichung handelt es sich um eine allgemeine Aussage.

Unser Gleichungssystem besitzt unendlich viel Lösungen.

Um dennoch eine Lösung angeben zu können kann man sich eine der zwei Variablen frei wählen. Wenn wir zum Beispiel \(x=5\) wählen dann folgt für Gleichung \(I\).

\(2x+4y=20\)

\(2\cdot 5+4y=20\)

\(10+4y=20\)

Die Gleichung kann man nun nach \(y\) lösen.

\(10+4y=20\,\,\,\,\,\,\,|-10\)

\(4y=10\)

\(4y=10\,\,\,\,\,\,\,|:4\)

\(y=\frac{10}{4}\)

Durch das festlegen einer Variable kann man also eine der unendlich vielen Lösungen ermitteln. Man darf jedoch nur eines der beiden Variablen frei wählen, die zweite Variable muss immer rechnerich ermittelt werden. Dafür darf man jedoch die erste Variable beliebig auswählen.

Du kannst mal überprüfen ob \(x=5\) und \(y=\frac{10}{4}\) das Gleichungssystem wirklich löst. Versuch auch mal eine andere Lösung des Systems zu finden indem du statt \(x=5\) die Variable \(x\) anders wählst.



Ein lineares Gleichungssystem kann auch kein Lösung besitzen.

Hier mal ein lineares Gleichungssystem zu dem wir keine Lösung finden können.

Beispiel: Lineares Gleichungssystem ohne Lösungen.

\(I\,\,\,\,\,\, y+3x=9\)

\(II\,\,\,\, y+3x=7\)

Probieren wir das Gleichungssystem zu lösen.

Gleichung \(I\) nach \(y\) lösen

\(y+3x=9\,\,\,\,\,\,\,\,|-3x\)

\(y=9-3x\)

Einsetzen in Gleichung \(II\)

Nun setzten wir \(y=9-3x\) in Gleichung \(II\) ein und erhalten:

\(y+3x=7\)

\(9-3x+3x=7\)

Gleichung nach der enthaltenen Variable lösen

\(9-3x+3x=7\)

\(9=7\)

An dieser Stelle sind wir auf ein widerspruch geraten denn \(9=7\) kann niemals stimmen. Wenn du auf sowas stöst, dann weist du dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

Regel:

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

  • Ein Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung wenn das System genau eine Lösung besitzt
  • Ein lineares Gleichungssystem kann unendlich viele Lösungen besitzen.
  • Ein lineares Gleichungssystem kann keine Lösungen besitzen.


Das Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine weitere Methode zum lösen linearer Gleichungssysteme. Bei dieser Methode versuchst du beide Gleichungen des Systems nach der gleichen variable zu lösen. Die zwei entstandenen Ausdrücke musst du dann gleichsetzten und diesen Ausdruck dann nach der verbleibenden Variable lösen. Anschließend wird das Ergebnis in einen der Ausdrücke aus dem ersten Schritt eingesetzt, nun muss nur noch der dadurch entstandene Ausdruck gelöst werden.

Um das Vorgehen zu verdeutlichen wird im nächsten Beispiel das Einsetzungsverfahren verwendet.

Regel:

Vorgehensweise beim Einsetzungsverfahren

  • Eine Gleichung nach einer der Variablen lösen.
  • Das Ergebnis dieser Gleichung in die 2. Gleichung setzen.
  • Die neu entstandene Gleichung ebenfalls nach der enthaltenen Variable lösen.
  • Die Lösung der zweiten Gleichung wird in die erste Gleichung eingesetzt und wieder gelöst.


Beispiel: Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren lösen.

\(I.\,\,\,\,\,\,2x+4y=20\)

\(II.\,\,\,\,x+3y=12\)

Wir formen zunächst Beide Gleichungen nach einer der Variablen um, tun wir dies mal für \(x\).

Gleichung \(I\) und \(II\) nach \(x\) lösen.

\(I.\,\,\,\,\,2x+4y=20\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x+4y=20\,\,\,\,\,\,\,|-4y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x=20-4y\,\,\,\,\,\,\,|:2\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\) \(\frac{20-4y}{2}\)



\(II.\,\,\,\,x+3y=12\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x+3y=12\,\,\,\,\,\,\,|-3y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=12-3y\)

Die zwei Ausdrücke für \(x\) gleichsetzen und nach \(y\) umstellen.

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\) \(\frac{20-4y}{2}\)\(=12-3y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) \(\frac{20-4y}{2}\)\(=12-3y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) \(\frac{20-4y}{2}\)\(=12-3y\,\,\,\,\,\,|\cdot 2\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20-4y\)\(=2(12-3y)\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20-4y\)\(=24-6y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20-4y\)\(=24-6y\,\,\,\,\,|+6y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20+2y\)\(=24\,\,\,\,\,|-20\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2y\)\(=4\,\,\,\,\,|:2\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y\)\(=2\)

Nun müssen wir nur noch \(y=2\) in einem der beiden Ausdrücke von Schritt eins einsetzen.

Einsetzen von \(y=2\) in \(x=12-3y\).

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=12-3y\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=12-3\cdot 2\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=6\)

Damit haben wir als Lösung \(x=6\) und \(y=2\)

Um dein Ergebnis zu überprüfen musst du ledigleich \(x=6\) und \(y=2\) in Gleichung \(I\) und \(II\) einsetzen.

Regel:

Vorgehensweise beim Gleichsetzungsverfahren

  • Beide Gleichungen nach der selben Variable umstellen.
  • Anschließend beide enstandenen Ausdrücke für die Variable gleichsetzen.
  • Gleichung nach der verbleibenden Variable lösen.
  • Die Lösung in einem der Gleichungen aus Schritt eins einsetzen und so die letzte Variable berechnen.


Übrigens ist es egal wie man ein Gleichungssytem löst, der Lösungsweg ändert an der Lösung nichts. Auch mit diesem Verfahren kann eine Gleichung keine Lösung besitzen oder unendlich viele Lösungen besitzen.

Das Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren versucht man eine der beiden Variablen zu eliminieren. Dazu kann man verschiedene Rechenopartionen am Gleichungssystem durchführen, je geschickter man vorgeht desto schneller kann eine Variable eliminieren.

Um das Vorgehen beim Additionsverfahren zu verstehen kannst du dir das nächste Beispiel durchlesen.

Beispiel: Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren lösen:

\(I.\,\,\,\,\,\,2x+4y=20\)

\(II.\,\,\,\,x+3y=12\)

Zunächst müssen wir uns dazu entscheiden welche Variable wir eliminieren wollen. Wir entscheiden uns für die Variable \(x\) und überlegen, wie wir diese Variable eliminieren können.

Wir multiplizieren Gleichung \(II\) mit \(2\) und erhalten.

\(II.\,\,\,\,x+3y=12\)

\(II.\,\,\,\,x+3y=12\,\,\,\,\,\,|\cdot 2\)

\(II\,\,\,\,2x+6y=24\)

Jetzt ziehen wir Gleichgung \(I\) von Gleichung \(II\) ab und erhalten:

\(II-I\)

\(2x+6y-(2x+4y)=24-20\)

\(2y=4\)

\(2y=4\,\,\,\,\,\,\,|:2\)

\(y=2\)

Jetzt können wir \(y=2\) in Gleichung \(I\) einsetzten.

\(I.\,\,\,\,\,\,2x+4y=20\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x+4\cdot 2=20\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x+8=20\,\,\,\,|-8\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x=12\,\,\,\,\,|:2\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=6\)

Damit haben wir das Gleichungssystem gelöst und sind zum Ergebnis \(x=6\) und \(y=2\) gekommen.

Wir haben das Gleichungssystem lösen können, indem wir die zweite Zeile mit \(2\) multipliziert haben. Damit haben wir dafür gesorgt, dass vor dem \(x\) in beiden Gleichungen der gleiche Faktor steht. Daraufhin mussten wir nur noch die eine Gleichung von der anderen abziehen damit die Variable \(x\) eliminiert wird. Der rest besteht nur noch darin die resultierende Gleichung zu lösen und die übrige Variable zu bestimmen.

Übrigens haben wir die zweite Gleichung mit \(2\) multipliziert weil \(2\) das kleinste gemeinsame Vielfache von \(1\) und \(2\) ist. Wobei \(1\) der Vorfaktor von \(x\) in der zweiten Gleichung ist und \(2\) der Vorfaktor von \(x\) in der ersten Gleichung ist.

Regel:

Vorgehensweise beim Additionsverfahren

  • Entscheide welche der zwei Variablen du eliminieren möchtest.
  • Überlege wie du vorgehen musst damit die ausgewählte Variable wegfällt.
  • Löse die Gleichung in der die ausgewählte Variable wegefallen ist.
  • Setze die Lösung für die Variable in einer der Ausgangsgleichungen und ermittel die verbleibenede Variable.



Weiteres Beispiel:

\(I.\,\,\,\,\,\,2x+3y=20\)

\(II.\,\,\,\,x+2y=12\)

Wir entscheiden uns dieses mal dafür die Variable \(y\) zu eliminieren. Dazu müssen wir rausfinden was der kleinste gemeiname Vielfache von \(3\) und \(2\) ist. Der Kleinste gemeinsame Vielfache von \(3\) und \(2\) ist \(6\), jetzt müssen wir dafür sorgen dass in beiden Gleichungen der Faktor vor \(y\) gleich \(6\) ist.

Das erreichen wir indem wir Gleichung \(I\) mit \(2\) multiplizieren und Gleichung \(II\) mit 3 multiplizieren.

\(I.\,\,\,\,\,\,2x+3y=20\,\,\,\,\,|\cdot 2\)

\(II.\,\,\,\,x+2y=12\,\,\,\,\,|\cdot 3\)



\(I.\,\,\,\,\,\,4x+6y=40\)

\(II.\,\,\,\,3x+6y=36\)

Jetzt steht vor dem \(y\) in beiden Gleichungen eine \(6\), wir können jetzt die eine Gleichung von der anderen abziehen und die Variablen ermitteln. Versuch von hier aus das Gleichungssystem weiter zu lösen.

Um das Lösen von linearen Gleichungssystemen zu üben kannst du die nachfolgenden Aufgaben lösen.

Falls du beim Lösen hilfe benötigst kannst du im Rechner von Simplexy eines der zwei gleichungen eingeben und so einen Hinweis bekommen.




Aufgabe 1

\(I.\,\,\,\,2x+y=4\)

\(II.\,\,3x+2y=5\)




Aufgabe 2

\(I.\,\,\,\,9x+y=10\)

\(II.\,\,3x+2y=5\)




Aufgabe 3

\(I.\,\,\,\,x-y=3\)

\(II.\,\,x-2y=1\)




Aufgabe 4

\(I.\,\,\,\,y=5x+2\)

\(II.\,\,y-5x=3\)