Prozentrechnung und Prozentrechner
Prozentrechnung
Prozentangabe dienen dazu den Anteil an einem Ganzen anzugeben.
Man sagt beispielsweise: 60% aller Schüler bekommen eine Zwei. Damit gibt man also den Anteil der Schüler, die eine Zwei bekommen, im Bezug zur Gesamtzahl aller Schüler an. Mit Prozentangaben kann man aber auch Zunahmen und Abnahmen angeben. So kann man beispielsweise sagen: Im vergleich zum letzen Jahr, haben dieses Jahr 10% mehr Schüler eine Eins geschrieben. Prozente werden dann verwendet wenn man Mengen mit einander vergleichen möchte.
Die Grundlagen der Prozentrechnung
Ich sage zu meinem Freund, "In meiner Schule sind \(\frac{1}{4}\) aller Schüler Mädchen". Darauf hin sagt mir mein Freund, "Bei mir ist der Anteil an Mädchen \(\frac{3}{5}\)".
Um raus zu finden bei wem von uns der Anteil an Mädchen höher ist, müssen wir zunächst die Brüche auf den gleichen Nenner bringen, denn so können wir die zwei Brüche sofort vergleichen.
Bringen wir mal die zwei Brüche auf den gleichen Nenner:
\(\frac{1}{4}=\frac{1\cdot 5}{4\cdot 5} = \frac{5}{20}\)
\(\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 4}{5\cdot 4}=\frac{12}{20}\)
Da \(\frac{12}{20}>\frac{5}{20}\) wissen wir nun das auf der Schule von meinem Freund der Mädchenanteil höher ist.
Bringt man beide Nenner auf \(100\) dann spricht man von Prozent.
\(\frac{1}{4}=\frac{25}{100}\) entspricht 25% \(\,\,\,\) und \(\,\,\,\)\(\frac{3}{5}=\frac{60}{100}\) entspricht 60%
Auf meiner Schule sind also 25% aller Schüler Mädchen während auf seiner Schule 60% aller Schüler Mädchen sind.
Regel:
\(p\)% entspricht \(\frac{p}{100}\).
Beispiel:
\(\frac{23}{100}\) aller Menschen sind kleiner als \(160cm\). Das heißt \(23\)% der Menschen sind Kleiner als \(160cm\).
Begriffe der Prozentrechnung
Im Beispiel von gerade, \(\frac{23}{100}\) aller Menschen sind kleiner als \(160cm\), wird die Anzahl an Menschen die kleiner als \(160cm\) mit der Gesamtzahl an Menschen verglichen. Die Zahl mit der man etwas vergleicht nennt man Grundwert G. Die zahl die verglichen wird heißt Prozentwert W. In diesem Beispiel ist also der Grundwert, die Gesamtzahl an Menschen auf der Erde und der Prozentwert ist die Menge an Menschen die kleiner als \(160cm\) sind.
Der Vergleich zwischen zwei Mengen bzw. zwischen zwei Zahlen kann als Bruch \(\frac{Prozentwert}{Grundwert}\) dargestelt werden. Wenn man diesen Bruch auf den Nenner \(100\) bringt, so spricht man vom Prozent. Der dazugehörige Zähler wird dann Prozentzahl \(p\) gennant.
\(\frac{Prozentwert\, W}{Grundwert\, G}=\frac{Prozentzahl\, P}{100}=\)\(Prozentsatz\,p\) %
Berechnung des Grundwertes
Regel:
Prozentwert W \(=\frac{Prozentzahl\,p}{100}\cdot\)\(Grundwert\,G\)
Prozentwert W \(=\,Prozentsatz\,p\,\)% \(\cdot\)\(Grundwert\, G\)
Beispiel:
In einem Hotel mit \(70\) Zimmern sind 40% belegt.
Wie viele Zimmer sind belegt ?
\(W=\)\(\frac{p}{100}\cdot G=\frac{40}{100}\cdot\) \(70=28\)
Das Hotel hat also 28 belegte Zimmern.
Berechnung des Prozentsatzes
Regel:
Prozentzahl \(p=\)\(\frac{Prozentwert\,W}{Grundwert\, G}\cdot\)\(100\)
Prozentzatz p %\(=\)\(\frac{Prozentwert\,W}{Grundwert \,G}\cdot\) \(100\) %
Beispiel:
In einem Hotel mit \(70\) Zimmern sind 28 Belegt.
Wie viel Prozent sind das ?
\(p\) % \(=\)\(\frac{W}{G}\cdot 100=\frac{28}{70}\cdot\)\( 100\) % \(=40\) %
\(40\)% der Hotelzimmer sind belegt.
Berechnung des Grundwertes
Regel:
Grundwert G\(=\)\(\frac{Prozentwert\,W}{Prozentsatz\, p\,\%}\)
Grundwert G\(=\)\(\frac{100}{Prozentzahl\,p}\cdot\) \(Prozentwert\,W\)
Beispiel:
In einem Hotel sind 28 Zimmern belegt, dass sind 40% aller Hotelzimmern.
Wie viele Zimmer hat das Hotel insgesamt ?
\(G\)\(=\)\(\frac{100}{p}\cdot W=\frac{100}{40}\cdot\)\(28\)\(=70\)
Das Hotel hat insgesamt \(70\) Zimmern.
Vermehrter und Verminderter Grundwert
Beispiel:
Der Preis dieser Sneaker ist um \(20\)% erhöht worden und beträgt jetzt \(150\) €.
Wie war der ursrüngliche Preis der Sneaker ?
Grundwert G\(=\)\(\frac{100}{Prozentzahl\,p}\cdot\) \(Prozentwert\,W\)
Achtung, hier musst du berücksichtigen, dass die Sneakers jetzt um \(20\) % teuerer sind. Der Prozentsatz ist also jetzt \(120\).
\(G\)\(=\)\(\frac{100}{p}\cdot\) \(W=\)\(\frac{100}{120}\cdot\)\(150\)€\(=125\)€
Die Sneaker kosteten ursrünglich \(125\)€.