Potenzfunktion


Potenzfunktion Rechner mit Rechenweg

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Potenzfunktion

Einführung:

Was ist eine Potenzfunktion?

Eine allgemeine Potenzfunktion hat folgende Form:

\(f(x)=x^n\)

Wobei \(x\) als Basis bezeichnet wird und \(n\) wird Potenz genannt. Potenzfunktionen haben je nach Exponent andere Eigenschaften. Du wird im Folgenden die Eigenschaften von Potenzfunktionen lernen und verstehen. In diesem Beitrag befassen wir uns nur mit ganzzahligen Exponenten, einige Potenzfunktionen kennst du bereits schon.

Der Graph einer Potenzfunktion wird Parabel der Ordnung \(n\) gennant, wobei die Ordnung sich auf den Exponenten bezieht. Im Falle eine quadratischen Funktion sagt man Parabel zweiter Ordnung

Ist der Exponent negativ also \(-n\), so spricht man von einer Hyperbel der Ordnung \(n\)

Potenzfunktion mit gerader Ordnung

In der nächsten Abbildung sind drei Potenzfunktionen mit gerader Ordnung dargstellt.

  • \(f(x)=x^2\) in blau

  • \(f(x)=x^4\) in rot

  • \(f(x)=x^6\) in grün

Solche Graphe kannst du mit dem Rechner von Simplexy selber herstellen. Gib ins Eingabefeld beispielsweise \(x^4\) ein und der Rechner generiert dir den Graphen.
Hier kommst du zum Rechner.


Was haben alle diese Funktionen gemeinsam?

  • der Definitionsbereich der Parabeln ist \(\mathbb{D}=\R\)
  • Der Wertebereich ist \(\mathbb{W}=\mathbb{R}_{0}^{+}\). Das Potenzieren einer negativen Zahl mit einer geraden Zahl führt zu einer positiven Zahl.

    Beispiel:\(\,\,(-x)^2=(-x)\cdot (-x)=x^2\)
  • Die Parabeln sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
  • Parabeln mit geradem Exponenten haben ihren Scheitelpunkt bei \(O(0|0)\)
  • Parabeln mit größeren Exponenten verlaufen im Bereich
    \(-1<x<1\) flacher und im Bereich \(x<-1\) sowie \(x>1\) verlaufen sie steiler

Potenzfunktion mit ungerader Ordnung

Der Exponent 1 (Lineare Funktion)

In der nächsten Abbildung ist der Graph der lineare Funktion \(f(x)=x\) abgebildet.


Die lineare Funktion ist eine spezielle Funktion und wird auch proportionale Funktion genannt. Eine allgemeine lineare Funktion wird geschrieben als \(f(x)=m\cdot x+b\), wobei \(m\) die Steigung und \(b\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Funktion ist. Ist \(b=0\) dann verläuft die Funktion durch den Koordinatenursprung \(O(0|0)\).

Ungerade Exponenten größer als 1

In der nächsten Abbildung sind drei Potenzfunktionen mit gerader Ordnung dargstellt.

  • \(f(x)=x^3\) in blau

  • \(f(x)=x^5\) in rot

  • \(f(x)=x^7\) in grün


  • der Definitionsbereich der Parabeln ist \(\mathbb{D}=\R\)
  • Der Wertebereich ist \(\mathbb{W}=\mathbb{R}\).
  • Die Parabeln sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung \(O(0|0)\).
  • Alle Parabeln durchlaufen die Punkte \(P(-1|-1)\), \(O(0|0)\) sowie \(Q(1|1)\)
  • Alle Parabeln sind streng monoton steigend
  • Parabeln mit größeren Exponenten verlaufen im Bereich
    \(-1<x<1\) flacher und im Bereich \(x<-1\) sowie \(x>1\) verlaufen sie steiler

Potenzfunktion mit negativem Exponenten

\(f(x)=x^{-n}=\)\(\frac{1}{x^n}\)



Potenzfunktionen mit negativem Exponenten werden Hyperbel der Ordnung \(n\) gennant.

Antiproportionale Funktion

Beginnen wir mit der Funktion \(f(x)=x^{-1}=\)\(\frac{1}{x}\), sie ist ein Beispiel für eine antiproportionale Funktion. In der nächsten Abbildung ist diese Funktion grapfisch dargestellt.


Hyperbel gerader Ordnung

\(f(x)=x^{-2}=\)\(\frac{1}{x^2}\) in blau

\(f(x)=x^{-4}=\)\(\frac{1}{x^4}\) in rot

\(f(x)=x^{-6}=\)\(\frac{1}{x^6}\) in grün






Alle im oberen Graphen dargestellten Funktionen teilen die folgenden Eigenschaften:

  • der Definitionsbereich der Hyperbeln ist \(\mathbb{D}=\R\backslash 0\)
  • Der Wertebereich ist \(\mathbb{W}=\mathbb{R}_{0}^{+}\). Das Potenzieren einer negativen Zahl mit einer geraden Zahl führt zu einer positiven Zahl.

    Beispiel:\(\,\,(-x)^2=(-x)\cdot (-x)=x^2\)
  • Die Hyperbeln sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
  • Alle Hyperbeln durchlauen die Punkte \(P(-1|1)\) und \(Q(1|1)\)
  • Geht \(x\) gegen \(\pm\infty\), so werden die Funktionswerte immer kleiner und gehen gegen \(0\). Die \(x\)-Achse ist also die Asymptote
  • Der Grenzwert \(x\rightarrow 0\) ist \(\infty\), sowohl für \(x<0\) sowie \(x>0\).
  • Für \(x<0\) sind die Hyperbeln streng monoton steigend und für \(x>0\) streng monoton fallend.

Hyperbel ungerader Ordnung

\(f(x)=x^{-3}=\)\(\frac{1}{x^3}\) in blau

\(f(x)=x^{-5}=\)\(\frac{1}{x^5}\) in rot

\(f(x)=x^{-7}=\)\(\frac{1}{x^7}\) in grün




Alle im oberen Graphen dargestellten Funktionen teilen die folgenden Eigenschaften:

  • der Definitionsbereich der Hyperbeln ist \(\mathbb{D}=\R\backslash 0\)
  • Der Wertebereich ist \(\mathbb{W}=\R\backslash 0\)
  • Die Hyperbeln sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
  • Alle Hyperbeln durchlauen die Punkte \(P(-1|-1)\) und \(Q(1|1)\)
  • Geht \(x\) gegen \(\pm\infty\), so werden die Funktionswerte immer kleiner und gehen gegen \(0\). Die \(x\)-Achse ist also die Asymptote
  • Der Grenzwert \(x\rightarrow 0\) ist \(-\infty\) für \(x<0\).
  • Der Grenzwert \(x\rightarrow 0\) ist \(\infty\) für \(x>0\).
  • Für alle \(x\in \mathbb{D}\) ist der Funktionsgraph streng monoton fallend.

Potenzfunktion mit rationalem Exponenten

In diesem Beitrag wurden bis jetzt nur ganzzahlige Exponenten betrachte. Ist der Exponent von der Form \(\frac{m}{n}\), dann handelt es sich um eine Wurzelfunktion.

\(f(x)=\) \(x^{\frac{m}{n}}\)\(=\)\(\sqrt[n]{x^m}\)

Du kannst hier alles über Wurzelfunktionen lernen.

Mit dem Rechner von Simplexy kannst du die Graphen von beliebigen Funktionen erstellen.
Hier kommst du zum Rechner.