Wurzelfunktion

Wurzelfunktion Rechner mit Rechenweg

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Wurzelfunktion

Einführung:

Was ist eine Wurzelfunktion?

Im allgemeinen sieht eine Wurzelfunktion folgendermaßen aus:

\(f(x)=\sqrt[n]{x}=\)\(x^{\frac{1}{n}}\)


  • Man nennt \(n\in\mathbb{N}\) den Wurzelexponenten

  • Das Argument der Funktion steht unter der Wurzel und wird Radikand genannt.

  • Ist der Wurzelexponent eine gerade Zahl, so kann das Argument \(x\) nicht negativ sein. Das liegt daran, dass die Potenzfunktionen mit geradem Exponenten (\(x^2\),\(x^4\),\(x^6\),...) oberhalb der \(x\)-Achse verlaufen.

  • Ist der Wurzelexponent ungerade, dann kann das Argument \(x\) auch negativ sein.

  • Für positive Wurzelexponenten verläuft der Graph monoton wachsend.

  • Es gilt: \(\sqrt[n]{0}=0\) für alle \(n\in\mathbb{N}\,\, \implies\) Die einzige Nullstelle von Wurzelfunktionen liegt bei \(x=0\)

  • Es gilt \(\sqrt[n]{1}=1\) für alle \(n\in\mathbb{Z}\)

  • Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen.

  • Bei der Quadratwurzel verwendet man folgende Bezeichnung: \(\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}\).


Tip: Mit dem Rechner von Simplexy kannst du die Graphen von beliebigen Funktionen erstellen.
Hier kommst du zum Rechner.

Umkehrfunktion einer Potenzfunktion

Eine Potenzfunktion wird im allgemeinen geschrieben als
\(f(x)=x^n\) mit \(n\in\mathbb{Z}\)

Eine Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion:

\(y=x^n \iff x=y^{1/n}=\sqrt[n]{y}\)

Mathematische Herleitung:

\(y=x^n \,\,\,\,\,\,\)\(|(...)^{\frac{1}{n}}\)

\(y^{\frac{1}{n}}=(x^n)^{\frac{1}{n}}=x^{n\cdot\frac{1}{n}}=x \)

\(\implies x=y^{1/n}=\sqrt[n]{y}\)


In der nächsten Abbildung sind die Funktionen
\(f(x)=x\), \(f(x)=x^2\) und \(f(x)=\sqrt{x}\) graphisch dargestelltn.