Satz des Pythagoras


Satz des Pythagoras Rechner

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Satz des Pythagoras

Einführung:

Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks her. In diesem Kapitel wirst du sehen was der Satz des Pythagoras ist und wie du ihn verwendest.


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Wiederholung

Wichtige Begriffe

Im Beitrag Geometrie des Dreiecks kannst du nochmal die wichtigsten Begriffe im rechtwinkligen Dreieck wiederholen.

Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel. Die Hypotenuse ist stets die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

Als Kathete bezeichnet man die zwei kürzeren Seiten, zusammen schließen sie einen rechten Winkel zwischen sich.



Satz des Pythagoras

Regel

Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Katheten, so groß wie das Quadrat der Hypotenuse ist.

\(a^2+b^2=c^2\)



Warum tauch in der Formel vom Satz des Pythagoras das Quadrat der Seiten auf ?
Du weist bereits schon lange wie man die Fläche eines Quadrats berechnet:



Um die Fläche eines Quatrads zu berechnen muss man die Seitenlänge quadrieren, im oben dargestellten Quadrat erhält man die Fläche indem man
\(A=10cm\cdot 10cm=10^2cm^2=100cm^2\)

Im Satz des Pythagoras taucht ebenfalls das Quadrat der Seiten vom rechtwinkligen Dreieck auf. Du kannst sie dir jeweils vorstellen wie ein Quadrat das an der Seite des Dreiecks haftet.



Nach Pythagoras gilt also:
\(blaue\,Fläche\)\(+\)\(grüne\, Fläche\)\(=\)\(rote\,Fläche\)
\(a^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) \(+\) \(b^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) \(=\) \(c^2\)

In anderen Worten sagt der Satz des Pythagoras aus, dass die Summe aus den Kathetenquadraten (blau und grün) genauso groß ist wie das Hypotenusenquadrat (rot).



Wie wird der Satz des Pythagoras nun angewendet ?

Satz des Pythagoras anwenden

In den meisten Aufgaben im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras geht es darum aus zwei gegeben Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die dritte Seitenlänge zu berechnen.

Gesucht ist die dritte Seite

Sind zwei seiten eines Rechtwinkligen Dreiecks gegeben, dann kann man mit dem Satz des Pythagoras die dritte Seitenlänge sehr leicht berechnen.

Beispiel 1

Gegeben sind die Katheten \(a\) und \(b\) eines rechtwinkligen Dreiecks. Gesucht ist die Länge der Hypotenuse.

\(a=5\)
\(b=4\)

Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
\(a^2+b^2=c^2\)

Nun Können wir für \(a\) und für \(b\) die gegebenen Werte in den Satz des Pythagoras einsetzen und erhalten \(c^2\). Von \(c^2\) mussen wir nur noch die Wurzel ziehen und erhlaten die Seitenlänge \(c\).

\(5^2+4^2=25+16=41\)

Also ist \(c^2=41\), um \(c\) zu erhalten machen wir \(\sqrt{c^2}=c.\)

\(c=\sqrt{41}=4,403\)

Beispiel 2

Gegeben ist eine Kathete \(a\) und die Hypotenuse \(c\) eines rechtwinkligen Dreiecks. Gesucht ist die Seitenlänge \(b\).

\(a=3\)
\(c=4\)

Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
\(a^2+b^2=c^2\)

Den Satz den Pythagoras können wir genau wie jede andere Gleichung umstellen. Wir Können den Satz also nach \(b\) umstellen. Falls du das Umstellen einer Gleichung nochmal wiederholen willst, kannst du es hier machen.

\(a^2+b^2=c^2\,\,\,\,\,\,\,\,|-a^2\)

\(b^2=c^2-a^2\,\,\,\,\,\,\,\,|\sqrt{\,\,\,\,\,\,}\)

\(\sqrt{b^2}=\sqrt{c^2-a^2}\)

\(b=\sqrt{c^2-a^2}\)

Einsetzen der gegebenen Werte:

\(b=\sqrt{4^2-3^2}\)

\(b=\sqrt{16-9}\)

\(b=\sqrt{7}\)

\(b=2,645\)

Regel

Aus dem Satz des Pythagoras folgt:

  • \(a=\sqrt{c^2-b^2}\)
  • \(b=\sqrt{c^2-a^2}\)



Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck ?

Beispiel 3

Gegeben sind alle Seitenlängen eines Dreiecks, ist das Dreieck rechtwinklig ?

  • \(5cm\)
  • \(3cm\)
  • \(2cm\)

Wir wissen, das die Hypotenuse immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Damit muss die Seite mit der Länge \(5cm\) die Hypotenuse sein.

Versuchen wir mal \(a^2+b^2=c^2\) zu überprüfen:

\(3^2+2^2=9+4=13\neq 5^2\)

Da der Satz des Pythagoras in diesem Fall nicht funktioniert, handelt es sich bei diesem Dreieck nicht um ein rechtwinkliges Dreieck.

Beispiel 4

Gegeben sind alle Seitenlängen eines Dreiecks, ist das Dreieck rechtwinkles ?

  • \(c=5cm\)
  • \(a=3cm\)
  • \(b=4cm\)

Versuchen wir mal \(a^2+b^2=c^2\) zu überprüfen:

\(3^2+4^2=9+16=25=5^2\)

Da der Satz des Pythagoras in diesem Fall funktioniert, handelt es sich bei diesem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck.