Zinsrechnung

Zinsrechner

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Zinsrechnung

Einleitung

Die Zinsrechnung ist nichtsweiteres als die Anwendung der Prozentrechnung, wenn du die Prozentrechnung wiederholen möchtest kannst du es gerne hier machen.

Bei der Prozentrechnung werden die folgenden Begriffe verwendet:

  • Grundwert

  • Prozentwert

  • Prozentsatz

    • Zur Wiederholung dieser Begriffe rechnen wir ein kleines Beispiel vor.

    Beispiel:
    Spongebob möchte sich einen neuen Pfannenwender kaufen, der 250€ kostet. Mr. Krabs sagt, dass er ihm 20% dazu geben wird. Spongebob möchte nun wissen welchen Prozentwert dieser Prozentsatz entspricht. Er rechnet also los:

    \(W=\frac{p\cdot G}{100}=\frac{20\cdot 250€}{100}=50€\)

    In diesem Beispiel entspricht der Grundwert \(G=250€\), der Prozentsatz \(p=20\)% und der Prozentwert \(W=50€\).

    In der Zinsrechnung bekommen diese Begriffe eine andere Bezeichnung.

    • Der Grundwert G wird in der Zinsrechnung als das Kapital K, das Guthaben oder Kredit bezeichnet.

    • Der Prozentwert W wird in der Zinsrechnung als Zinsen Z bezeichnet.

    • Den Prozentsatz p nennt man in der Zinsrechnung Zinssatz p.

    Regel:

    Zinsrechnung ist eine Anwenung der Prozentrechnung.

    • Grundwert G \(\,\,\,\Rightarrow\) Kapital K

    • Prozentwert W \(\Rightarrow\) Zinsen Z

    • Prozentsatz p \(\,\,\,\Rightarrow\) Zinssatz p

    Berechnung von Zinsen

    Beispiel:

    Mr. Krabs legt ein Guthaben bzw. ein Kapital \(K=600€\) an. Der Zinssatz beträgt \(p=3\)% pro Jahr. Wie viel Zinsen erhält Mr. Krabs nach einem Jahr.

    Zur Berechnung der Zinsen kannst du die umgeschriebene Formel der Prozentrechnung verwenden:

    \(Z=\frac{K\cdot p}{100}\)

    Im Fall von Mr. Krabs setzen wir also ein:

    \(Z=\frac{600€\cdot 3}{100}=18€\)

    Mr. Krabs erhält also nach einem Jahr \(Z=18\)€ Zinsen.

    Du kannst natürlich auch berechnen wie viel Zinsen Mr.Krabs in einem Monat erhält. Dazu musst du die Zinsen durch \(12\) teilen.

    \(Z=\frac{K\cdot p}{100}\cdot \frac{1}{12}=\frac{18€}{12}=1,5€\)

    Um zu berechnen wie viel Zinsen Mr.Krabs an einem Tag erhält musst du die Zinsen durch 360 teilen.(Eine Bank rechnet mit 360 Tagen im Jahr)

    \(Z=\frac{K\cdot p}{100}\cdot \frac{1}{360}=\frac{18€}{360}=0,05€=5\,Cent\)



    Regel:

    Zinsen berechnet man über folgende Formel.

    • Jahreszinsen: \(Z=\frac{K\cdot p}{100}\)

    • Monatszinsen: \(Z=\frac{K\cdot p}{100}\cdot \frac{m}{12}\,\,\,\,\,\), wobei \(m\) die anzahl an monaten entspricht.

    • Tageszinsen: \(Z=\frac{K\cdot p}{100}\cdot \frac{t}{360}\,\,\,\,\,\), wobei \(t\) die anzahl an tagen entspricht.

    Berechnung des Kapitals

    Beispiel:

    Patrick überlegt sich, wie viel Kapital \(K\) er zu einem Zinssatz von \(p=5\)% anlegen muss, damit er \(150\)€ Zinsen bekommt.

    Um das Kapital zu berechnen verwendet man folgende Formel:

    \(K=\frac{Z\cdot 100}{p}\)

    Einsetzen liefert:

    \(K=\frac{150€\cdot 100}{5}=3000€\)

    Patrick muss also \(3000€\) anlegen, damit er bei einem Zinssatz von \(5\)%, Zinsen im Wert von \(150\)€ erhält.

    Regel:

    Das Kapital berechnet man über folgende Formel.

    \(K=\frac{Z\cdot 100}{p}\)

    Berechnung des Zinssatzes

    Beispiel:

    Sindey hat ein Kapital \(K=1500\)€, die sie so anlegen möchte, dass sie \(46\)€ Zinsen erhält. Wie hoch muss der Zinssatz liegen damit sie in einem Jahr soviel Zinsen erhält ?

    Den Zinssatz berechnet man über folgenede Formel:

    \(p=\frac{Z\cdot 100}{K}\)

    Sindeys Ẃerte einsetztn liefert:

    \(p=\frac{46€\cdot 100}{1500€}=3,066\)% also ca. \(3,1\)%

    Regel:

    Der Zinssatz berechnet sich über folgende Formel.

    \(p=\frac{Z\cdot 100}{K}\)

    Zinseszins

    Zinsen beziehen sich meist auf ein Jahr, nach einem Jahr bekommt man also seine Zinsen. Die Zinsen die man bekommt werden zum Kapital dazu gerechnet dadurch nimmt das Kapital zu, dass heißt aber auch das man im Jahr darauf mehr Zinsen bekommt. Betrachten wir mal zum besseren Verständnis das folgende Beispiel.

    Du Legst \(100\)€ bei einem Zinssatz von \(10\)% an. Nach einem Jahr erhällts du also \(10\)€ Zinsen. Damit besitzt du jetzt \(110\)€, im Jahr darauf bekommst du also auf die \(110\)€ \(10\)% Zinsen. Also bekommst du im zweiten Jahr \(11\)€ Zinsen. Damit liegt dein Kapital nach zwei Jahren bei \(121\)€. Im dritten Jahr würdest du auf die \(121\)€ \(10\)% Zinsen erhalten. Dadurch das dein Kapital jedes Jahr anwächst erhältst du bei gleich bleibendem Zinssatz immer mehr Zinsen. Dabei wächst dein Kapital exponentiell mit der Zeit an. Jeder Pfeil entspricht einem Jahr.

    \(100€\rightarrow 110€\rightarrow 121€\rightarrow 133,1€\rightarrow 146,41€\rightarrow 161,05 \rightarrow 177,15€\rightarrow 194,89€ \rightarrow 214,37€ \rightarrow 235,80€ \rightarrow 259,38€ \)...

    Regel:

    Das Kapital nach \(n\)-Jahren berechnet sich über folgende Formel.

    \(K_n=K_0\cdot(1+\frac{p}{100})^n\)

    Dabei ist,

    • \(K_n\) Endkapital

    • \(K_0\) Anfangskapital

    • \(n\) Jahre (Anzahl an Zinsauzahlungen)