Fadenpendel Energieerhaltungssatz

Online Rechner mit Rechenweg

Der Online Rechner von Simplexy kann dir beim berechnen vieler Aufgaben helfen. Probiere den Rechner mit Rechenweg aus.







Fadenpendel Zusammenfassung

  • Die Schwingungsgleichung vom Fadenpendel kann über die Betrachtung der Rückstellkraft ermittelt werden. Dabei ist die Rückstellkraft gerade die Tangentialkomponente der Gewichtskraft.

  • Die Schwingungsgleichung vom Fadenpendel lautet:

    \(\begin{aligned} \ddot{x}(t)+\frac{g}{l}\cdot x(t)=0 \end{aligned}\)

    Dabei ist:

    • \(x(t)\) die Auslenkung.

    • \(l\) die Länge des Fadens.

    • \(g\) die Fallbeschleunigung.

  • Das Fadenpendel schwingt harmonisch mit der Ort-Zeit-Funktion

    \(x(t)=x_0\cdot cos(\omega\cdot t)\)

    • Dabei ist \(\omega\) die Eigenfrequenz bzw. Kreisfrequenz des Pendels.

      • \(\begin{aligned} \omega=\sqrt{\frac{g}{l}} \end{aligned}\)

    • \(x_0\) ist die Startauslenkung des Pendels.

  • Die Schwingungsdauer bzw. die Periodendauer berechnet sich über

    • \(\begin{aligned} T=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}} \end{aligned}\)

  • Die Frequenz berechnet sich über

    • \(\begin{aligned} f=\frac{1}{T} \end{aligned}\)

Fadenpendel Energiebetrachtung

Betrachtet man ein ungedämpftes Fadenpendel, so existieren nur zwei Energieformen welche sich fortlaufend ineinander umwandeln. Zum einen die kinetische (Bewegungsenergie) und zum anderen die potentielle Energie (Lage- bzw. Höhenenergie). Die Gesamtenergie vom Fadenpendel berechnet sich über die Summe der potentiellen und der kinetischen Energie. Das ungedämpfte Fadenpendel ist ein abgeschlossenes System, wodurch die Gesamtenergie immer gleich bleibt.

Energieerhaltungssatz
bzw.
Energiesatz

In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie erhalten.

\(E_{ges}=E_{kin}+E_{pot}=konstant\)



Die Besonderheit eines abgeschlossenen Systems liegt darin, dass es keine Energie mit seiner Umgebung austauscht.

Wie berechnen sich die Energieformen beim Fadenpendel?

Die kinetische Energie \(E_{kin}\) ist die Bewegungsenergie des Pendelkörpers und berechnet sich über:

\(\begin{aligned} E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 \end{aligned}\)

wobei \(v\) die Geschwindigkeit des Pendelkörpers ist.

Die potentielle Energie wird auch als Lage- bzw. Höhenenergie bezeichnet. Sie hängt von der Höhe des Pendelkörpers ab und berechnet sich über:

\(\begin{aligned} E_{pot}=m\cdot g\cdot h \end{aligned}\)

wobei \(h\) die Höhe des Pendelkörpers ist.





Energieerhaltungssatz beim Fadenpendel

Während der Schwingung des Fadenpendels bleibt die Gesamtenergie erhalten (bleibt konstant). Es findet jedoch fortwährend eine Umwandlung zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie statt.





An den Umkehrpunkten (maximale Auslenkung) ist die maximale Höhe des Pendelkörpers erreicht. Daraus folgt, dass an den Umkehrpunkten die potentielle Energie am größten ist. Im Gegensatz dazu ist die kinetische Energie an den Umkehrpunkten Null. Dies liegt daran, dass an den Umkehrpunkten die Geschwindigkeit des Pendelkörpers für eine kurze Zeit gleich Null ist. Sobald sich der Pendelkörper in Richtung der Ruhelage beschleunigt, nimmt seine Geschwindigkeit wieder zu. Das geht einher mit eienr Zunahme der kinetischen Energie. Gleichzeitig nimmt die Höhe des Pendelkörpers ab, wodurch die potentielle Energie abnimmt. Beim Durchgang durch die Ruhlage erreicht das Pendel seine maximal Geschwindigkeit. Damit ist zu diesem Zeitpunkt die kinetische Energie am höchsten. Die potentielle Energie ist jedoch auf Null abgesunken, denn der Pendelkörper besitzt an der Ruhelage die Höhe Null.

Die Umwandlung zwischen potentieller und kinetischer Energie während der Schwingung den Fadenpendels findet permanent statt.



In der oberen Abbildung ist der zeitliche Verlauf der kinetischen und der potentiellen Energie dargestellt.

Fadenpendel Maximale Geschwindigkeit berechnen

Die höchste Geschwindigkeit die das Fadenpendel erreicht, kann über den Energieerhaltungssatz berechnet werden. Wir wissen ja bereits, dass die potentielle Energie, welche an den Umkehrpunkten vorliegt, vollständig in kinetische Energie umgewandelt wird, sobald das Pendel durch die Ruhelage fliegt. An den Umkehrpunkten steckt die Gesamtenergie des Pendel in der potentiellen Energie. Beim Durchgang durch die Ruhelage steckt die Gesamtenergie des Pendels in der kinetischen Energie. Wir können also beide Maximal-Energien gleichsetzen.

\(\begin{aligned} E_{kin,max}&=E_{pot,max}\\ \\ \frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{max}^2&=m\cdot g\cdot h_{max}\\ \end{aligned}\)

Diese Gleichung kann nun nach der Maximalen Geschwindigkeit des Fadenpendels umgestellt werden.

\(\begin{aligned} \frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{max}^2&=m\cdot g\cdot h_{max}\,\,\,|\cdot 2\\ \\ m\cdot v_{max}^2&=2\cdot m\cdot g\cdot h_{max}\,\,\,|\div m\\ \\ v_{max}^2&=2\cdot g\cdot h_{max}\,\,\,|\sqrt{\,\,\,}\\ \\ v_{max}&=\sqrt{2\cdot g\cdot h_{max}} \end{aligned}\)

Ist die Höhe \(h_{max}\) bekannt, so kann man die maximale Geschwindigkeit vom Fadenpendel berechnen.

Maximale Geschwindigkeit

\(\begin{aligned} v_{max}&=\sqrt{2\cdot g\cdot h_{max}} \end{aligned}\)