Gradmaß und Bogenmaß berechnen

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Gradmaß und Bogenmaß leicht erklärt



In diesem Beitrag wirst du sehen wie man einen Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß und vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen kannst. In dem oberen Video ist eine einfache Erklärung visuell dargestellt.

Gradmaß und Bogenmaß Erklärung

Unter dem Gradmaß und dem Bogenmaß versteht man Winkelmaße, mit denen die Größe eines Winkels angegeben werden. Die Angabe eines Winkels in Gradmaß ist den meisten bereits bekannt. In der unteren Abbildung ist ein Kreis bei dem ein Winkel von \(90^{\circ}\) dargestellt ist.



In der Abbildung ist die Bogenlänge in Bezug auf den Winkel von \(90^{\circ}\) in Grün dargestellt.



Je Größer der Winkel ist, desto größer ist die Bogenlänge. Die Bogenlänge und der Winkel in Grad stehen in einem Zusammenhang zu einander. Die Bogenlänge kann daher ebenfalls verwendet werden, um den Winkel anzugeben. Die Angabe des Winkels über die Bogenlänge wird Bogenmaß genannt. Die Angabe des Winkels über den Grad wird Gradmaß genannt.

Merke

Um einen Winkel anzugeben kann das Gradmaß oder das Bogenmaß verwendet werden. Ein Winkel hat daher immer einen Wert im Bogenmaß und einem Wert im Gradmaß.


Nun stellt sich die Frage wie man die Bogenlänge (Bogenmaß) für einen bekannten Winkel in Grad berechnet. Die Bogenlänge ist die grüne Strecke welche in den oberen Abbildung dargestellt ist.

Bogenmaß berechnen

Bei einem Winkel in Gradmaß von \(360^{\circ}\) ist die Bogenlänge genauso groß wie der gesamte Umfang des Kreises.



Bei einem Kreis mit dem Radius \(r=1\) (Einheitskreis) berechnet sich der Umfang \(U\) wie folgt:

\(\begin{aligned} U&=2\cdot \pi\cdot r\\ &=2\cdot \pi\cdot 1\\ &=2\pi \end{aligned}\)

Bei einem Winkel von \(360^{\circ}\) ist die Bogenlänge und damit das Bogenmaß \(2\pi\).

In dem weiteren Verlauf wird der Winkel in Grad als \(\alpha\) und in Bogenmaß als \(x\) geschrieben. Das Bogenmaß wird oft als rad abgekürzt.

  • Gradmaß \(\textcolor{Goldenrod}{\alpha}\,\,\,[\text{grad}]\)

  • Bogenmaß \(\textcolor{green}{x}\,\,\,[\text{rad}]\)



Gradmaß in Bogenmaß umrechnen Formel

Wie bereits erwähnt hängt die Bogenlänge \(\textcolor{green}{x}\) vom Grad \(\textcolor{Goldenrod}{\alpha}\) ab. Bei einem Winkel von \(\textcolor{Goldenrod}{\alpha}=180^{\circ}\) entspricht die Bogenlänge nur noch die Hälfte des Umfangs vom Kreis. Demzufolge ist das Bogenmaß \(\textcolor{green}{x}=\pi\).



Bei einem Winkel von \(\textcolor{Goldenrod}{\alpha} = 90^{\circ}\) ist die Bogenlänge ein viertel so groß wie der Umfrang des Kreises. Das Bogenmaß ist also \(\textcolor{green}{x}=\frac{\pi}{2}\).



Unter einem Winkel von \(\textcolor{Goldenrod}{\alpha}=270^{\circ}\) ist das Bogenmaß wie man in der unteren Abbildung sehen kann \(\textcolor{green}{x}=\frac{3}{2}\pi\)



Wir haben also nun einige Winkel sowohl im Gradmaß als auch im Bogenmaß angegeben. Man kann einen Winkel stets vom Gradmaß in das Bogenmaß umrechnen und umgekehrt.

Gradmaß in Bogenmaß umrechnen

Du kannst einen Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen, indem du die folgende Formel verwendest:

\(\begin{aligned} \textcolor{green}{x}=\frac{\textcolor{Goldenrod}{\alpha}}{180^{\circ}}\cdot \pi \end{aligned}\)



Bogenmaß in Gradmaß umrechnen

Du kannst einen Winkel vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen, indem du die folgende Formel verwendest:

\(\begin{aligned} \textcolor{Goldenrod}{\alpha}=\frac{\textcolor{green}{x}}{\pi}\cdot 180^{\circ} \end{aligned}\)



Beispiel Grad in Bogenmaß berechnen

Mit der oben genannten Formel ist die Winkel Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß sehr einfach.

\(\begin{aligned} \textcolor{green}{x}=\frac{\textcolor{Goldenrod}{\alpha}}{180^{\circ}}\cdot \pi \end{aligned}\)

Beispiel 1

Forme \(\textcolor{Goldenrod}{\alpha}=45^{\circ}\) vom Gradmaß ins Bogenmaß um.

Wir nutzen für die Umformung vom Gradmaß ins Bogenmaß die folgende Formel:

\(\begin{aligned} \textcolor{green}{x}=\frac{\textcolor{Goldenrod}{\alpha}}{180^{\circ}}\cdot \pi \end{aligned}\)

Wir setzen also \(\textcolor{Goldenrod}{\alpha}=45^{\circ}\) in die Formel ein und erhalten:

\(\begin{aligned} \textcolor{green}{x}&=\frac{\textcolor{Goldenrod}{45^{\circ}}}{180^{\circ}}\cdot \pi\\ \\ &=\frac{1}{4}\pi\approx 0.784 \end{aligned}\)



Wie die siehst ist die Umformung vom Bogenmaß ins Gradmaß sehr einfach. Nun betrachten wir noch ein Beispiel für den umgekehrten Fall.

Beispiel 2

Gegeben sei ein Winkel von \(\textcolor{green}{x}=1\) im Bogenmaß, berechne den Winkel in Gradmaß.

Um den Winkel in Gradmaß zu berechnen, nutzen wir die untere Formel:

\(\begin{aligned} \textcolor{Goldenrod}{\alpha}=\frac{\textcolor{green}{x}}{\pi}\cdot 180^{\circ} \end{aligned}\)

Nun können wir das Bogenmaß von \(\textcolor{green}{x}=1\) in die Formel einsetzen und erhalten:

\(\begin{aligned} \textcolor{Goldenrod}{\alpha}&=\frac{\textcolor{green}{1}}{\pi}\cdot 180^{\circ}\approx 57,3^{\circ} \end{aligned}\)



Bei einem Winkel von \(\textcolor{Goldenrod}{\alpha}=57,3\) hat das Bogenmaß den wert \(\textcolor{green}{x}=1\).

Bogenmaß und Gradmaß Tabelle

Gradmaß \(\alpha\) Bogenmaß x
\(0^{\circ}\) \(0\)
\(45^{\circ}\) \(\frac{\pi}{4}\)
\(90^{\circ}\) \(\frac{\pi}{2}\)
\(180^{\circ}\) \(\pi\)
\(270^{\circ}\) \(\frac{3}{2}\)\(\pi\)
\(360^{\circ}\) \(2\pi\)

Bogenmaß Herleitung

Für die Herleitung der Formel für die Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß, betrachten wir zunächst den Einheitskreis mit dem Radius \(r=1\). Bei einem Winkel von \(360^{\circ}\) entspricht die Bogenlänge genau dem Umfang \(U\) des Kreises.



Betrachtet man hingegen nicht den gesammten Innenwinkel von \(360^{\circ}\) sondern nur einen Abschnitt \(\textcolor{Goldenrod}{\alpha}\), so hat dieser einen Anteil am Innenwinkel von \(\frac{\alpha}{360^{\circ}}\). Demzufolge überstreicht ein Winkel von \(\textcolor{Goldenrod}{\alpha}\) in Bogenmaß nur die Bogenlänge

\(\begin{aligned} \textcolor{green}{x}&=\frac{\textcolor{Goldenrod}{\alpha}}{360^{\circ}}\cdot 2\pi\\ \\ &=\frac{\textcolor{Goldenrod}{\alpha}}{180^{\circ}}\cdot \pi\\ \end{aligned}\)

Beim Umrechnen von Bogenmaß in Gradmaß ist der Winkel \(x\) gegeben und gesucht ist der Winkel \(\alpha\). Die obige Formel kann daher nach \(\alpha\) umgestellt werden.

\(\begin{aligned} \textcolor{green}{x}&=\frac{\textcolor{Goldenrod}{\alpha}}{360^{\circ}}\cdot 2\pi\,\,\,\,\,\Bigg|\frac{360^{\circ}}{2\pi}\\ \\ &\implies\\ \\ \textcolor{Goldenrod}{\alpha}&=\textcolor{green}{x}\frac{ 360^{\circ}}{2\pi}\\ \\ &=\frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot \textcolor{green}{x} \end{aligned}\)

Damit hast du also nun die Herleitung für das Umrechnen von Gradmaß in Bogenmaß und von Bogenmaß in Gradmaß.



Einheitskreis

Wie in dem obigen Abschnitt gezeigt, wird die Umrechnung von Bogenmaß und Gradmaß in Bezug auf den Einheitskreis definiert. Denn der Winkel ist unabhängig von Radius eins Kreises. Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius \(r=1\).