Logarithmus Funktion integrieren
Integralrechner
Der Integralrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich integrieren und noch viel mehr. Berechne ganz simple die Stammfunktion und die Flächen unter einem Graphen.
Stammfunktion des natürlichen Logarithmus
Regel:
Integral der Logarithmus-Funktion
\(\displaystyle\int ln(x)\,dx=ln(x)\cdot x-x\)
Im Folgenden wirst du genau verstehen wie man das Integral der \(ln\)-Funktion berechnet.
Herleitung der Stammfunktion des natürlichen Logarithmus
Eine Herleitung der Stammfunktion des natürlichen Logarithmus mit Erklärung.
\(\displaystyle\int ln(x)\,dx=\displaystyle\int 1\cdot ln(x)\,dx\)
Wir haben im obigen Schritt lediglich eine Multiplikation mit \(1\) durchgeführt, dieser Trick ist hilfreich weil wir das Integral nun durch Partielle Integration lösen können.
Für die Partielle Integration nehmen wir folgende Bezeichnungen vor:
\(f'(x)=1\implies f(x)=x\)
\(g(x)=ln(x)\implies g'(x)=\frac{1}{x}\)
Wir wenden nun die Formel für die Partielle Integration an, die Formel lautet:
\(\displaystyle\int f'(x)g(x)\,\,dx = f(x)g(x)-\displaystyle\int f(x)g'(x)\,\,dx\)
\(\displaystyle\int 1\cdot ln(x)\,dx=x\cdot ln(x)-\underbrace{\displaystyle\int x\cdot \frac{1}{x}\,dx}_{\displaystyle\int 1\,dx =x}\)
\(\implies \displaystyle\int ln(x)\,dx=x\cdot ln(x)-x\)
Allgemeines zur ln Funktion
Die Logarithmus Funktion gehört zu den fundamentalen Funktionen der Mathematik. Der Logarithmus einer Zahl, liefert den Exponenten einer im vorfeld festgelegten Basis. Der Natürliche Logarithmus liefert beispielswiese den Exponente wenn die Basis gerade die Eulersche Zahl \(e=2,71828\). Dabei ist der Logarithmus nur für positive reelle Zahlen definiert.
Logarithmus Funktion
Der Logarithmus einer Zahl \(x\) zur Basis \(b\) ist der Exponent \(y\), welcher die Gleichung
\(b^y=x\)
erfüllt.
Man schreibt:
\(y=log_b(x)\)
Wie bereits erwähnt bezieht sich der Natürliche Logarithmus auf die Basis \(e\) (Eulersche Zahl). Man schreibt dann statt \(y=log_e(x)\) einfach:
\(y=ln(x)\)