Partielle Integration


Integralrechner

Der Integralrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich integrieren und noch viel mehr. Berechne ganz simple die Stammfunktion und die Flächen unter einem Graphen.



Grundlagen

Bei der Partiellen Integration handelt es sich um eine clevere Umschreibung des Integranden, also die Funktion die integriert werden soll. Für die Umschreibung benötigt man die Produktregel der Ableitung.

Partielle Integration

Regel:

Partielle Integration Formel

\(\displaystyle\int f'(x)g(x)\,\,dx = f(x)g(x)-\displaystyle\int f(x)g'(x)\,\,dx\)


Mit der Partiellen Integration versucht man eine Funktion die aus dem Produkt zweier Funktionen zusammengesetzt ist so um zu schreiben, dass sich das Integral leichter lösen lässt.

Beispiel

Nehmen wir mal an wir müssen folgendes Integral lösen:

\(\displaystyle\int\,e^{2x}\cdot x\,dx\)

Wir werden die Funktionen im Integral jetzt folgendermaßen benennen:

\(f'(x)=e^{2x}\implies f(x)=\frac{1}{2}x^{2x}\)

\(g(x)=x\implies g'(x)=1\)

Das Integral kann man nun wie folgt schreiben:

\(\displaystyle\int\,e^{2x}\cdot x\,dx=\displaystyle\int\,f'(x)\cdot g(x)\,dx\)

Nun wenden wir die Formel für die Partielle Integration an und erhalten:

\(\displaystyle\int\,e^{2x}\cdot x\,dx=\displaystyle\int\,\underbrace{f'(x)\cdot g(x)}_{e^{2x}\cdot x}\,dx=\underbrace{\frac{1}{2}e^{2x}\cdot x}_{f(x)\cdot g(x)}-\displaystyle\int \underbrace{\frac{1}{2}e^{2x}\cdot 1}_{f(x)\cdot g'(x)}\,dx\)

Damit ergibt sich als Lösung des Integrals:

\(\displaystyle\int\,e^{2x}\cdot x\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}\cdot x-\frac{1}{4}e^{2x}\)

Die Kunst bei der Partiellen Integration liegt darin zu erkennen ob ein Integrand als Produkt aus zwei Funktionen geschrieben werden kann wobei sich eine der zwei funktionen als eine Ableitung \(f'(x)\) auffassen lässt und die andere als \(g(x)\). Das weitere vorgehen beläuft sich darauf, die Funktion \(f'(x)\) zu integrieren sodass man \(f(x)\) erhält und die Funktion \(g(x)\) abzuleiten damit man \(g'(x)\) erhält. Anschließend muss man \(f(x)\) und \(g'(x)\) nur noch in die Formel für die Partielle Integration einsetzten.

Achtung !

Mit der Partiellen Integration kann man nur bestimmte Integrale vereinfachen und somit lösen. Je nach Integral kann die Partielle Integration auch dazu führen, dass das Integral komplizierter wird.


Herleitung der Partiellen Integration

Wir benötigen für die Herleitung der Partiellen Integration die Produktregel aus der Differentialrechnung.

Wir wissen das die Produktregel folgendes aussagt:

\((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

Um von hier aus auf die Formel für die Partielle Integration zu kommen gehen wir folgendermaßen vor:

\((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,\,\,\,\,\,\,|-f(x)g'(x)\)


\((f(x)g(x))'-f(x)g'(x)=f'(x)g(x)\)


\((f(x)g(x))'-f(x)g'(x)=f'(x)g(x)\,\,\,\,\,\,\,|\displaystyle\int dx\)


\(\displaystyle\int (f(x)g(x))'\,dx-\displaystyle\int f(x)g'(x)\,\,dx=\displaystyle\int f'(x)g(x)\,\,dx\)


\(f(x)g(x)-\displaystyle\int f(x)g'(x)\,\,dx=\displaystyle\int f'(x)g(x)\,\,dx\)


Nun tauschen wir nur noch die Plätze der rechten und linken Seite der Gleichung aus und es folgt:

\(\displaystyle\int f'(x)g(x)\,\,dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f(x)g'(x)\,\,dx\)


Partielle Integration Beispiele

Beispiel 1

Gesucht ist die Stammfunktion der Funktion \(h(x)=x\cdot e^{-3x}\).

Lösung

Wir schreiben die Funktion \(h(x)\) als ein Produkt der zwei Funktion

\(f'(x)=e^{-3x}\implies f(x)=-\frac{1}{3}e^{-3x}\)

\(g(x)=x\implies g'(x)=1\)

\(\displaystyle\int h(x) dx=\displaystyle\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f(x)g'(x)\,\,dx\)

\(\displaystyle\int x\cdot e^{-3x}=-\frac{1}{3}xe^{-3x}-\displaystyle\int e^{-3x}\,dx=-\frac{1}{3}xe^{-3x}-\frac{1}{9} e^{-3x}\)

Beispiel 2

Berechne das Integral \(\displaystyle\int\,x\cdot ln(x)\,dx\).

Lösung

Wir nehmen folgende Bezeichnungen vor

\(f'(x)=x\implies f(x)=\frac{1}{2}x^2\)

\(g(x)=ln(x)\implies g'(x)=\frac{1}{x}\)

Einsetzten in die Formel für die Partielle Integration liefert

\(\displaystyle\int x\cdot ln(x)\,dx=\displaystyle\int f'(x)g(x)\,dx\)

\(\displaystyle\int f'(x)g(x)\,dx=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x^2\cdot ln(x)-\underbrace{\int \frac{1}{2}x^2\cdot\frac{1}{x}\,dx}_{\frac{1}{4}x^2+c}\)

Damit ergibt sich als Lösung

\(\displaystyle\int x\cdot ln(x)\,dx=\frac{1}{2}\cdot x^2ln(x)-\frac{1}{4}x^2+c\)