Integration duch Substitution


Integralrechner

Der Integralrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich integrieren und noch viel mehr. Berechne ganz simple die Stammfunktion und die Flächen unter einem Graphen.



Substitutionsregel

In diesem Kapitel wirst du lernen wie man ein Integral mit der Substitutionsregel lösen kann. Aus der Differentialrechnung kennst du bereits die Kettenregel, dass äquivalente dazu in der Integralrechnung nennt man Substitutionsregel.

Regel:

Substitutionsregel

\(\displaystyle\int f(x)\,dx=\displaystyle\int f(\varphi(u))\cdot \varphi'(u)\,du\)


Die Substitutionsregel kann meistens dann angewandt werden, wenn der Integrand \(f(x)\) aus einer Verkettung zweier Funktionen besteht. Betrachten wir am besten ein Beispiel zur Erklärung:

Beispiele 1

\(\displaystyle\int 2x\cdot e^{x^2}\,dx\)

Durch scharfes hinsehen, erkennen wir das im Exponenten der e-Funktion der Termin \(x^2\) steht, die Ableitung \((x^2)'=2x\) steht aber auch als Faktor vor dem \(e^{x^2}\). Man kann den Integraden folgendermaßen umschreiben bzw. substituieren:

\(x^2=\varphi\)

\(\frac{d\varphi}{dx}=2x\implies dx=\frac{1}{2x}d\varphi\)

Wir können nun \(dx\) im Integral erstezen mit \(\frac{1}{2x}d\varphi\)

\(\displaystyle\int 2x\cdot e^{x^2}\,\frac{1}{2x}d\varphi=\displaystyle\int e^{x^2}\,d\varphi\)

Jetzt erstezen wir noch \(x^2\) mit \(\varphi\) und erhalten:

\(\displaystyle\int e^{\varphi}\,d\varphi\)

Durch die Substiontion \(x^2=\varphi\) ist es uns gelungen, dass komplizierte Integral \(\displaystyle\int 2x\cdot e^{x^2}\,dx\) in ein sehr einfachen Integral \(\displaystyle\int e^{\varphi}\,d\varphi\) umzuwandeln.

Wir lösen nun das einfache Integral und erhalten:

\(\displaystyle\int e^{\varphi}\,d\varphi=e^\varphi+c\)

Jetzt müssen wir nur noch die Rücksubstitution durhführen, bei der man \(\varphi\) wieder in \(x^2\) umschreibt.

\(e^{\varphi}+c\rightarrow e^{x^2}+c\)

Damit haben wie die entgültige Lösung des Ausgangsintegrals ermittelt

\(\displaystyle\int 2x\cdot e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+c\)


Das Ziel der Partiellen Integration beteht darin eine neue Integrationsvariable einzuführen, um das Integral zu vereinfachen oder auf ein bereits bekanntes Integral zurückzuführen.

Vorgehen beim Integrieren durch Substitution:

  1. Analysiere das Integral.
  2. Bestimmte die innere Funktion \(\varphi(x)\).
  3. Berechne die Ableitung von \(\varphi(x)\), \(\frac{d\varphi(x)}{dx}\) und forme das nach \(dx\) um.
  4. Ersetze im Ausgangsintegral die innere Funktion mit \(\varphi(x)\) und ersetze das \(dx\).
  5. Berechne die Stammfunktion der substituierten Funktion.
  6. Führe die Rücksubstitution durch, bei der du \(\varphi(x)\) wieder mit dem Term aus Schritt 2 ersetzt.


Beispiele 2

Finde durch anwenden der Substitutionsregel die Lösung für das folgende Integral:

\(\displaystyle\int 2x\cdot (x^2+1)^4\,dx\)

Zunächst einmal muss man sich das Integral genau angucken und Analysieren. Wir erkennen den Term \(x^2+1\) und sehen dass die Ableitung von diesem Term, also \((x^2+1)'=2x\) ebenfalls als Vorfaktor im Integral vorkommt. Der erste Schritt bei der Partiellen Integration besteht meist darauß zu erkennen ob im Integral sowohl ein Term als auch seine Ableitung vorkommt.

Wir nenn nun die innere Funktion \(\varphi (x)\):

\(\varphi (x)=x^2+1\)

Nun besimmten wir die Ableitung von \(\varphi (x)\):

\(\frac{d\varphi}{dx}=\varphi'(x)=2x \implies dx=\frac{1}{2x}\cdot d\varphi\)

Wir ersetzen nun im Ausgangsintegral die innere Funktion mit \(\varphi\) und ersetzen das \(dx\) mit \(\frac{1}{2x}\cdot \varphi\).

\(\displaystyle\int 2x\cdot (x^2+1)^4\,dx = \displaystyle\int 2x\cdot \varphi^4\frac{1}{2x}\,d\varphi\)

Nun haben wir unser Ausgangsintegral umgeschrieben und können nun das einfacherer Integral lösen.

\(\displaystyle\int 2x\cdot \varphi^4\frac{1}{2x}\,d\varphi=\displaystyle\int \varphi^4\,d\varphi=\frac{1}{5}\varphi^5\)

Als letztes müssen wir die Rücksubstitution durchführen, bei dem wir für \(\varphi\) wieder \(x^2+1\) ersetzen.

\(\frac{1}{5}\varphi^5=\frac{1}{5}(x^2+1)^5\)

Damit haben wir unser Integral gelöst:

\(\displaystyle\int 2x\cdot (x^2+1)^4\,dx=\frac{1}{5}(x^2+1)^5\)