Ableitung Kettenregel


Ableitungsrechner

Der Ableitungsrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich Ableiten und noch viel mehr. Um zum Beispiel die Funktion \(f(x)=x^2\) abzuleiten, geh auf den knopf \(\frac{df}{dx}\) und gib \(x^2\) ein. Dann kannst du auf Lösen drücken und du erhälts die Ableitung deiner Funktion. Teste den Rechner mit Rechenweg aus.



Kettenregel



Funktion ableiten mit der Kettenregel

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit der Kettenregel.

Bei der Kettenregel handelt es sich im eine Ableitungsregel die man benutzt um Funktionen der Form \(f(x)=g(h(x))\) abzuleiten.

Eine verkettete Funktion leitet man folgendermaßen ab.

\(f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x)\)

Regel:

Kettenregel

Ableitung von \(f(x)=g\bigl(h(x)\bigr)\)


\(f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x)\)


Man sagt dazu auch "äußere mal innere Ableitung", dabei ist gemeint das man zunächst die äußere Funktion ableitet und diese dann mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.


Manchmal werden die Funktionen \(g(x)\) und \(h(x)\) auch als \(u(x)\) und \(v(x)\) bezeichnet. Die Bezeichnung der Funktionen spielt jedoch keine Rolle, die Regel würde dann wie folgt lauten:




Beispiele Kettenregel:

  • \(f(x)=(2x^2-4)^5\)

    \(\rightarrow f'(x)=5\cdot(2x^2-4)^4\cdot 4x\)
  • \(f(x)=sin(2x)\)

    \(\rightarrow f'(x) =cos(2x)\cdot 2\)
  • \(f(x)=e^{x^2}\)

    \(\rightarrow f'(x) =e^{x^2}\cdot 2x\)


Aufgaben:

Leite die folgenden Funktionen mit Hilfe der Kettenregel ab.

  • \(f(x)=(2x^3-x)^2\)
  • \(f(x)=\,\)\(e^{2x}\)
  • \(f(x)=(2x^3-sin(2x))^2\)


Anwendung der Kettenregel bei Wurzelfunktionen

Beispiel 1

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=\sqrt{2x}\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer verketteten Wurzelfunktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir die Ableitung der Wurzelfunktion unter anwendung der Kettenregel betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=\sqrt{x}\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{2x}}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)} \\ \\ &=\frac{1}{\sqrt{2x}} \end{aligned}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{\sqrt{2x}} \end{aligned}\)

Beispiel 2

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=\sqrt{x^3}\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer verketteten Wurzelfunktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir die Ableitung der Wurzelfunktion unter anwendung der Kettenregel betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=\sqrt{x}\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^3\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x^3}}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{3x^2}_{h'(x)} \\ \\ &=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}} \end{aligned}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}} \end{aligned}\)

Solche Aufgaben zur Ableitung von Wurzelfunktionen kann man mit dem Ableitungsrechner von Simplexy ganz einfach ausrechnen lassen. So kannst du deine Lösungen selbstständig überprüfen.

Beispiel 3

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=\sqrt{x^2+x}\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Wurzelfunktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir die Ableitung der Wurzelfunktion unter anwendung der Kettenregel betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=\sqrt{x}\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^2+x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x^2+x}}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x+1}_{h'(x)} \\ \\ &=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}} \end{aligned}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}} \end{aligned}\)

Anwendung der Kettenregel bei der e-Funktion

Beispiel 4

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=e^{2x}\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir die Ableitung der e-Funktion über die Kettenregel durchführen.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=e^x\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{e^{2x}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=2\cdot e^{2x}\)

Beispiel 5

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=e^{2x+2}\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir die Ableitung der e-Funktion wieder über die Kettenregel durchführen.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=e^x\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x+2\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{e^{2x+2}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=2\cdot e^{2x+2}\)

Beispiel 6

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=e^{x^2}\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

nun müssen wir also die Ableitung der e-Funktion wieder über die Kettenregel durchführen.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=e^x\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{e^{x^2}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=2x\cdot e^{x^2}\)

Man kann sich merken:

Bei der Ableitung einer verketteten Funktion muss man die gegebene Funktion hinschreiben und dann mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

\(f'(x)=\underbrace{2x}_{\text{innere abgeleiten}} \cdot \underbrace{e^{x^2}}_{f(x)\text{ hingeschrieben}}\)


Beispiel 7

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=e^{x^2+x}\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir erneut die Ableitung der e-Funktion über die Kettenregel durchführen.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=e^x\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^2+x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(f'(x)=\underbrace{e^{x^2+x}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x+1}_{h'(x)}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(f'(x)=(2x+1)\cdot e^{x^2+x}\)





Merke

Sowohl bei der Wurzelfunktion als auch bei der Exponentialfunktion hat man es in den meisten Fällen mit einer Verkettung zu tun. Bei der Ableitung solcher verketteten Funktionen muss man stets die Kettenregel anwenden. Dabei ist es wichtig zu erkennen welche Funktion die Äußere-Funktion und welche die Innere-Funktion ist. Die Kettenregel wird unter anderem oft als "Äußere mal Innere Ableitung" bezeichnet.