Matrix Invertieren


Inverse Matrix Rechner

Der Matrizen Rechner von Simplexy kann beliebige Matrix Rechenoperationen für dich durchführen. Mit dem Rechner kannst du Matrizen addieren, Matrizen subtrahieren, Matrizen multiplizieren, Matrizen invertieren, Matrizen transponieren und viel mehr.



Inverse Matrix

In diesem Beitrag werden wir uns mit der Inverse einer Matrix beschäftigen.

Die Funktion der Inversematrix ist Ähnlich dem sogenannten Kehrwert einer Zahl. Wenn man eine Zahl mit ihrem Kehrwert multipliziert, dann lautet das Ergebnis 1. Ebenso ist es wenn man eine Matrix mit ihrer Inversen multipliziert, als Ergebnis bekommt man die Einheitsmatrix.

Wiederholung: Kehrwert:

\(3\cdot 3^{-1}=3\cdot \frac{1}{3}=3\)

\(x\cdot x^{-1}=x\cdot \frac{1}{x}=1\)

Regel:

Matrix mit Inverser Matrix multiplizieren

Wenn man eine Matrix \(A\) mit ihrer Inversen Matrix \(A^{-1}\) multipliziert, dann erhält man als Ergebnis die Einheitsmatrix \(\mathbb{I}\)

\(A\cdot A^{-1}=\mathbb{I}\)


Beispiel:

\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\3 &4 \\\end{pmatrix}\)

\(A^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} &-\frac{1}{2} \\\end{pmatrix}\)


\(A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\\end{pmatrix}\)

Ist eine Matrix gegeben, so ist das Ermitteln der Inversen Matrix nicht so einfach wie das ermitteln des Kehrwertes einer Zahl. Es existieren einige Verfahren mit denen die Inverse einer Matrix berechnet werden können. Zu dem ist nicht jede Matrix invertierbar. Es gibt also Matrizen zu denen keine Inverse berechnet werden kann.

Regel:

Invertierbarkeit einer Matrix

Eine Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn gilt:

\(det(A)\neq 0\)


Ist die Determinante einer Matrix A ungleich null, so sind die Zeilen und Spalten dieser Matrix linear unabhängig.

Inverse einer 2x2 Matrix

Für eine 2x2 Matrix gibt es eine leicht Formel mit der die Inverse berechnet werden kann.

\(A=\begin{pmatrix}a & b \\c &d \\\end{pmatrix}\)

\(A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\-c &a \\\end{pmatrix}\)

Rechenregeln für die Inverse Matrix

Regel:

Regel 1

Die Inverse von einem Matrizenprodukt ist gleich dem Produkt aus den Inversen:

\((A\cdot B)^{-1}=A^{-1}\cdot B^{-1}\)

Regel 2

Inverse einer transponierten Matrix und die transponierte der inversen Matrix sind gleich:

\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^{T}\)

Regel 3

Inverse einer Matrix ist auch invertierbar:

\((A^{-1})^{-1}=A\)