Lineare Funktion und Geradengleichung


Lineare Funktion Rechner

Der Online Rechner mit Rechenweg von Simplexy kann lineare Funktionen zeichnen, Nullstellen berechnen, Y-Achsenabschnitte berechnen und viel mehr.



Lineare Funktion




Eine Lineare Funktion hat ganz Allgemein die Form
\(f(x)=m\cdot x+b\). Der Graph einer Linearen Funktion ist wie der Name schon sagt eine Gerade. Dabei nennt man \(m\) die Steigung der Geraden und \(b\) nennt man den \(y\)-Achsenabschnitt, also die Stelle an der die Gerade die \(y\)-Achse schneidet. In einem Koordinantensystem wird das aussehen der Geraden, durch die Werte \(m\) und \(b\) festgelegt.



Hier siehst du den Graphen der Funktion \(f(x)=2\cdot x + 1\), in diesem fall wurde \(m=2\) und \(b=1\) gesetzt:

In dem obigen Graphen siehst du bereits wie man auf den Wert von \(b\) kommt, wenn dir nur der Graph gegeben ist. Dazu muss du lediglich rausfinden an welcher Stelle die Gerade deine \(y\)-Achse schneidet. Hier in diesem Fall passiert das am Punkt \((0|1)\). In einem Koordinantensystem werden Punkte immer durch \((x|y)\) dargestellt. So findest du also raus, dass der \(y\)-Achsenabschnit \(b=1\) ist.
Solche Graphen kannst du mit dem online Rechner für lineare Funktionen von Simplexy selber erstellen, gib in das Eingabefeld zum Beispiel \(2\cdot x + 1\) ein und siehe was passiert. Hier kommst du zum Rechner für Geraden.

Wie berechnet man die Steigung einer linearen Funktion ?

Du siehst bereits an der Funktionsgleichung \(f(x)=2\cdot x + 1\), dass die Steigung der Geraden \(m=2\) ist, doch wie findet man das heraus wenn dir nur der Graph gegeben ist. Das ist ganz einfach, du musst aussgehend von deinem \(y\)-Achsenabschnitt ein Quadrat bzw. eine Einheit nach rechts gehen und dann in \(y\)-Richtung solange nach oben gehen bis du deine Gerade wieder triffst. Du musst dir jetzt nur noch merken wie viele Quadrate du nach link und wie viele Quadrate du nach rechts gegangen bist. Die Steigung bekommst du dann indem du

\(\frac{Quadrate\,nach\,oben\,gegangen}{Quadrate\,nach\,rechts\,gegangen}\) bzw. \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) berechnest.

Im Beispiel von Oben gehst du ausgehend vom \(y\)-Achsenabschnitt ein Quadrat nach rechts, und dann muss man genau zwei Quadrate nach oben gehen um auf die Gerade zu treffen.
Das heißt \(\Delta x = 1\) und \(\Delta y = 2\), der Quotient \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) aus beiden ist also \(\frac{2}{1}=2\).

Der \(y\)-Achsenabschnitt einer Geraden kann auch negativ sein, das kannst du am zweiten Beispiel sehen.

Wie du in dem Graphen oben siehst, lautet die Funktionsgleichung dieser Geraden
\(f(x)=3\cdot x - 2\). Da die Gerade die \(y\)-Achse am punkt \((0|-2)\) schneidet, ist der
\(y\)-Achsenabschnitt der Funktion \(b=-2\). Die Steigung bekommst du in dem du wieder \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) berechnest, also in diesem Fall \(\frac{3}{1}=3\). Damit ist die Steigung dieser Geraden \(m=3\), die Geradengleichung lautet also
\(f(x)=m\cdot x + b = 3\cdot x - 2\).


Abgesehen von einem negativen \(y\)-Achsenabschnitt kann eine Gerade auch eine negative Steigung haben, das heißt lediglich dass die Gerade mit größern \(x\)-Werte im kleinere \(y\)-Werte erreicht.

Hier siehst du eine Funktion mit negativer Steigung:

In diesem Beispiel ist die Funktion \(f(x)=-2\cdot x - 1 \), die Steigung
\(m=-2\) und der \(y\)-Achsenabschnitt \(b=-1\). Die Steigung dieser Geraden ist negativ weil die Funktion mit größeren \(x\)-Werten immer kleiner \(y\)-Werte annimmt. Anders als bei einer Funktion mit positiver Steigung ermitteln man die Steigung indem man eine Einheit nach rechts geht und dann so viele Quadrate nach unten geht bis man die Gerade wieder erreicht. Die Steigung berechnet sich bei einer linearen Funktion mit negativer Steigung folgendermaaßen
\(m=-\frac{\Delta y}{\Delta x}\).



Regel

  • Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Punkt an dem die lineare funktion die \(y\)-Achse schneidet.
  • Die Steigung einer linearen Funktion berechnet sich über \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
  • \(\Delta x\) ist die Anzahl an Einheit die man nach rechts geht. \(\Delta y\) ist die Anzahl an Einheiten die man von da aus benötigt um zur Gerade zu gelangen.
  • Die Steigung ist positiv wenn man nach oben gehen muss um zur Gerade zu gelangen.
  • Die Steigung ist negativ wenn man nach unten gehen muss um zur Gerade zu gelangen.


Eine Gerade aus zwei Punkten konstruieren

Es ist möglich eine Gerade und die dazu gehörige Geradengleichung aufzustellen wenn einem lediglich zwei Punkten im Koordinatensystem gegeben sind.

Nehmen wir mal an dir sind der Punkt \(Q=(-2|-4)\) und der Punkt \(P(2|2)\) gegeben, wie erhält man daraus die Geradengleichung ?
Zunächst einmal eine Skizze:



Um auf die Gerade zu kommen die durch beide Punkte \(Q\) und \(P\) geht, brauchen wir die allgemeine Geradengleichung
\(f(x)=m\cdot x+b\). Wir müssen also \(m\) und \(b\) ermitteln.

Berechnung der Steigung:

Die Steigung erhältst du über die Formel \(m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}\). Wobei \(y_Q\) die \(y\)-Koordinate des Punktes \(Q\) ist und \(y_P\) ist die \(y\)-Koordinate des Punktes \(p\). Das gleiche gilt natürlich im bezug auf \(x_Q\) und \(x_P\). Setzen wir mal unsere Werte in die Gleichung ein.

\(m=\frac{-4-2}{-2-2}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}\) Es ist übrigens Egal ob man \(m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}\) oder \(m=\frac{y_P-y_Q}{x_P-x_Q}\) rechnet. Es kommt das gleiche Ergbnis bei raus, probier es mal aus.

Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts:

Den \(y\)-Achsenabschnitt erhälts du, in dem du den Punkt \(Q\) oder den Punkt \(P\) in die Geradengleichung einsetzt. Dabei ist es vollkommen egal welchen der zwei Punkte du benutzt.
Wir benutzen mal den Punkt \(Q\) und setzen \(Q=(-2|-4)\) in die allgemeine Geradengleichung \(f(x)=m\cdot x+b\) ein. Das heißt
\(f(x)=-4\), \(\,x=-2\) und die Steigung \(m=\frac{3}{2}\) haben wir Oben berechnet.
Nach dem Einsetzten erhalten wir:


\(-4=\frac{3}{2}\cdot (-2)+b\)


Um auf \(b\) zu kommen müssen wir diese Gleichung jetzt nach \(b\) umformen


\(-4=\frac{3}{2}\cdot (-2)+b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|-b\)


\(-4-b=-3\)


\(-4-b=-3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|+4\)


\(-b=-3+4\)


\(-b=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|\cdot (-1)\)


\(\,\,\,\,\,b=-1\)


Damit haben wir nun, ausgehend von den zwei gegebenen Punkten, sowohl die Steigung \(m\) als auch den \(y\)-Achsenabschnitt berechnet. Mit hilfe einer Skizze kannst du deine Ergebnise immer überprüfen. Die Gerade durch die Punkte \(Q=(-2|4)\) und \(P(2|2)\) lässt sich schreiben als \(f(x)=\frac{3}{2}\cdot x - 1\).


Falls du das Umstellen einer Gleichung noch nicht gut beherrschst, oder das Lösen von Gleichungen üben möchtest, dann kannst du es hier nochmal wiederholen.

Regel:

  • Die Steigung einer Geraden die durch die zwei Punkte \(Q(x_Q|y_Q)\)
    und \(P(x_P|y_P)\) geht, erhälts du über die Formel:

  • \(m=\frac{y_P-y_Q}{x_P-x_Q}\)

  • Den \(y\)-Achsenabschnitt bekommst du indem du einen der Punkte \(Q(x_Q|y_Q)\) oder \(P(x_P|y_P)\) in die allgemeine Geradengleichung \(f(x)=m\cdot x+b\) einsetzt und nach \(b\) umstellst.



Nullstelle einer linearen Funktion berechnen

Was ist eine Nullstelle ?

Die Nullstelle einer Geraden ist der Punkt im Koordinatensystem, an dem die Gerade die \(x\)-Achse schneidet. Um die Nullstelle zu berechnen brauchst du also lediglich die Funktionsgleichung mit Null gleichsetzen, denn gesucht ist ja der Punkt an dem die Gerade den Wert \(f(x)=0\) bzw. \(y=0\) besitzt. Versuchen wir mal die Nullstelle der Funktion \(f(x)=2\cdot x -3\) zu berechnen. Der Graph der Funktion ist unten abgebildet.

Die Nullstelle berechnest du, indem du \(0=2\cdot x -3\) nach \(x\) umstellst

\(0=2\cdot x -3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|+3\)

\(3=2\cdot x\)

\(3=2\cdot x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|:2\)

\(\frac{3}{2}=x\)

Damit haben wir also als Nullstelle \(x=\frac{3}{2}=1,5\) ermittelt, im Graphen kann man das natürlich überprüfen.

Regel:

Die Nullstelle einer linearen Funktion berechnet man, indem man die Geradengleichung \(f(x)=m\cdot x+b\) Nullsetzt.

Dann muss man \(0=m\cdot x+b\) nach \(x\) umstellen.

Allgemein geschrieben ist die Nullstelle gegeben durch die Formel \(x=-\frac{b}{m}\).



Solche Aufgaben kannst du mit dem Online Rechner für lineare Funktionen von Simplexy lösen. Der Rechner gibt dir die Lösung, einen Graphen und den Rechenweg an. Um die Nullstelle der Funktion \(f(x)=2\cdot x - 3\) zu bestimmt musst du im Eingabefeld \(2\cdot x -3 = 0\) eingeben, den rest erledigt der Rechner. So kannst du immer überprüfen ob du richtig gerechnest hast.

Hier kommst du zum Rechner.

Konstante Funktion

Eine Gerade kann auch parallel zur \(x\)-Achse verlaufen, so eine Gerade nennt man eine Konstante. Die Funktionsgleichung einer zur \(x\)-Achse parallelen Geraden lautet \(f(x)=b\), da die Steigung \(m=0\) ist, lässt sich die Funktion also nur durch den \(y\)-Achsenabschnitt ausdrucken.

Beispiel einer konstanten Funktion \(f(x)=3\)