Gleichung lösen und umstellen
Rechner zum Lösen von Gleichungen
Mit dem Online Rechner von Simplexy kannst du Gleichungen lösen und Formeln umstellen, dabei bekommst du auch gleich den Rechenweg geliefert.
Wie löst man eine Gleichung ?
Wie löst man eine Gleichung und wie kann man eine Gleichung umstellen ?
In diesem Kaptitel wirst du lernen wie man mit einer Gleichung umgeht. Du wirst sehen wie man eine Gleichung löst und wie man Gleichungen umstellt, dazu brauchst du aber Vorkenntisse im Rechnen mit Variablen. Falls du das Rechnen mit Variablen wiederholen möchtest, kannst du das am besten hier machen.
Fangen wir mit einer einfachen Gleichung an:
\(5+x=7\)
Nach kurzem Überlegen scheint klar zu sein, dass \(x=2\) sein muss, denn dann steht da:
\(5+2=7\)
und damit ist die Gleichung gelöst.
Man kann \(x\) in dieser Gleichung auch ermitteln indem man auf beiden Seiten der Gleichung \(-5\) rechnet.
\(\begin{aligned} 5+x&=7\,\,\,|-5\\ 5+x-5&=7-5\\ x&=2 \end{aligned}\)
Indem man also auf beiden Seiten der Gleichung \(-5\) gerechnet hat, ist \(x\) auf der linken Seite alleine geblieben. Wir haben somit die Lösung der Gleichung \(x=2\) ermittelt indem wir die Gleichung umgestellt haben.
Wichtig ist, sobald man an einer Gleichung eine Rechenoperation ausführt, muss man diese Rechenoperation sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite der Gleichung durchführen. In jedem Rechenschritt müssen stets die linke und die rechte seite der Gleichung das Gleiche ergeben, sonst könnte man zwischen ihnen ja auch kein \(=\) schreiben.
Am besten macht man sich das folgender maßen klar:
\(5=5\)
Diese Gleichung sagt aus, das fünf gleich fünf ist. Das ist eine Korrekte Aussage. Addieren wir nun diese Gleichung mit \(2\)
\(\begin{aligned} 5&=5\,\,\,|+2\\ 5+2&=5+2\\ 7&=7 \end{aligned}\)
Wie du siehst muss man die Addition mit \(2\) auf beiden Seiten der Gleichung durchführen, nur so ist sichergestellt dass in jedem Schritt die linke und rechte Seite das Gleiche ergeben.
Hier noch ein weiteres Beispiel:
\(\begin{aligned} x-4&=5\\ x-4&=5\,\,\,\,\,|+4\\ x-4+4&=5+4\\ x&=9 \end{aligned}\)
Regel
Um eine Gleichung zu lösen muss man jede Rechenoperation die man durchführt auf beide Seiten der Gleichung anwenden.
Abgesehen von Addition und Subtraktion kann in einer Gleichung auch eine Multiplikation vorkommen.
Hier ein Beispiel dazu:
\(\begin{aligned} x\cdot 5&=10\\ \\ x\cdot 5&=10\,\,\,\,\,|:5\\ \\ \frac{x\cdot 5}{5}&=\frac{10}{5}\\ \\ x&=2 \end{aligned}\)
In diesem Beispiel kannst du um auf \(x\) zu kommen, auf beiden seiten der Gleichung durch \(5\) teilen. Dann erhält man \(x=2\) als Lösung.
So ähnlich funktioniert es auch wenn in einer Gleichung ein Bruch vorkommt.
Beispiel für Bruch in einer Gleichung:
\(\begin{aligned} \frac{x}{2}&=20\\ \\ \frac{x}{2}&=20\,\,\,\,\,|\cdot 2\\ \\ \frac{x}{2} \cdot 2&=20\cdot 2\\ \\ x&=40 \end{aligned}\)
Du siehst, das Lösen einer Gleichung ist nicht schwer. Im wesentlichen muss man dafür sorgen das die Variable auf einer Seite alleine steht, um da hinzugelangen wendet man Rechenoperationen wie Multiplikation, Addition, Subtraktion und Division an. Wichtig ist aber immer die jeweilige Rechenoperation auf beide Seiten der Gleichung anzuwenden.
Betrachten wir jetzt mal eine Gleichung die etwas schwerer ist.
Beispiel für eine Klammer in einer Gleichung:
\(\begin{aligned} 3y+4\cdot (y+2)&=15\\ \\ 3y+4\cdot y+4\cdot 2&=15\\ \\ 7y+8&=15\\ \\ 7y+8&=15\,\,\,\,\,|-8\\ \\ 7y+8-8&=15-8\\ \\ 7y&=7\\ \\ 7y&=7\,\,\,\,\,|:7\\ \\ \frac{7y}{7}&=\frac{7}{7}\\ \\ y&=1\\ \end{aligned}\)
In in einer Gleichung einer Klammer vorhanden, so muss man als Erstes die Klammer auflösen. Dann kann man die Gleichung wie gewohnt weiter lösen.
Um sicher zu stellen, dass du Richtig gerechnest hast, kannst du deine Lösung in die Gleichung einsetzen und sehen ob die Gleichung erfüllt wird. In diesem fall würde man so vorgehen:
\(y=1\)
in
\(3y+4\cdot (y+2)=15\)
einsetzen. Man erhält dann
\(\begin{aligned} 3\cdot 1+4\cdot (1+2)&=15\\ 15&=15 \end{aligned}\)
Dir ist sicherlich aufgefallen, dass in dem obigen Beispiel die Variable nicht \(x\) sondern \(y\) ist. Der name der Variable spielt keine Rolle für den Rechenweg, denn Variablen sind nur Platzhalter den Namen bzw. das Symbol dass man für den Platzhalter verwendet spielt keine Rolle.
Solche Gleichungen kannst du auch in den Rechner zum lösen von Gleichungen von Simplexy eingeben. Dort kannst du jede Gleichung lösen und kannst dir den genauen Rechenweg angucken.
Weitere Beispiele zu Gleichung lösen
Gleichung lösen mit Klammer und Bruch
Zur Übung kannst du mal Probieren die nächsten Aufgaben zu lösen, falls du hilfe brauchst kannst du ja den online Rechner mit Rechenweg nutzen.
Aufgaben:
\(4\alpha+2\cdot (\alpha-2)=0\)
\(7y-9=2y+5\)
\(\gamma+4=9\gamma-(5-\gamma)\)
\(x+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\)
\(2z-(2+4z)=32-2(4y-4)\)