Rechnen mit Variablen


Online Rechner mit Rechenweg

Mit dem Online Rechner von Simplexy kannst du viele Matheaufgaben berechnen und dabei den Rechenweg erhalten. Mit dem Rechner kannst du auch ganz bequem Gleichungen mit Variablen umstellen und lösen.



Variable

In diesem Abschnitt lernst du wie das Rechnen mit einer Variable funktioniert und was man dabei alles beachten muss. Du wirst sehen wieso man Variablen braucht und wie sie zum Einsatz kommen.

Was ist eine Variable ?


Definition

Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl. In der Mathematik wird eine Variable durch einen Buchstaben oder ein Symbol ausgedruckt. Eine Variable dient dazu einen mathematischen Ausdruck bzw. eine Gleichung allgemein zu halten. Mit einer Variable kann man so rechnen wie mit einer Zahl, letzten endlich setzt man für eine Variable eine Zahl ein.


Wahrscheinlich kennt du es auch, wenn man ein Paket verschickt oder ein Möbelstück kauft, findet man oft die Angabe \(L\)X\(B\)X\(H\). Dabei steht das \(L\) für die Länge, \(B\) für die Breite und \(H\) für die Höhe. In diesem Fall sind \(L\), \(B\) und \(H\) nichts anderes als Variablen. Ein Konkretes Möbelstück hat zum Beispiels die Maaße \(100cm\)X\(80cm\)X\(150cm\). Hier wurde also für die Variable eine Zahl eingesetzt, das ist ja auch die Funktion einer Variable. Sie dient als Platzhalter und wird in einem konkreten Fall mit einer Zahl ersetzt.


Eine Variable kann auch in einer Gleichung vorkommen.

Beispiel:

\(5+x=7\)

Man nennt \(5\) eine Konstante und \(x\) nennt man die Variable, nach kurzem Überlegen kommt man darauf das \(x=2\) sein muss damit die Gleichung erfüllt ist. Setzt man also für \(x\) die \(2\) ein, lautet die Gleichung: \(5+2=7\).

Rechnen mit Variablen

Wie rechnet man mit einer Variable?

Wie bereits erwähnt ist eine Variable nur ein Platzhalter für eine Zahl, man darf also mit einer Variable genau so rechnen wie man mit einer Zahl auch rechnen würde. Alle Rechenoperation die man auf Zahlen anwenden kann, kann man auch auf eine Variable anwenden.

Beispiel Variablen addieren:

\(4x+x=5x\)

Wenn man jetzt für \(x\) die zahl \(2\) einsetzt erhält man,

\(4\cdot 2+2=8+2 = 5\cdot 2 = 10\)

Beispiel Variablen subtrahieren:

\(4x-x=3x\)

Wie geht man vor wenn Variablen nicht die gleichen Potenzen besitzen? Hier ein weiters Beispiel.

Beispiel:

\(3x+2x+5x^2-2x^2+6x^3=5x-3x^2+6x^3\)

Wie du siehst wurde \(3x+2x\) zu \(5x\), \(5x^2-2x^2\) zu \(3x^2\) und \(6x^3\) ist unverändert geblieben.

Man kann also Variablen gleicher Exponenten zusammen rechnen, Variablen kann man also addieren und subtrahieren.


Regel

Variablen gleicher Exponenten dürfen zusammen gerechnen werden.

\(2x+3x+4x^2+5x^2=(2+3)x+(4+5)x^2\)

Um die Regel allgemein zu halten kann man auch folgendes schreiben:

\(ax+bx+cx^2+dx^2=(a+b)x+(c+d)x^2\)

Wovei \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) für irgend welche Zahlen stehen.


Wie kann man Variablen multiplizieren?

Man multipliziert Variablen mit einander indem man ihr Exponent addiert. Das kann verwirrent glingen, die Beispiele werden dir zeigen wie man es macht.

Beispiele Variablen multiplizieren:

\(x\cdot x=x^1\cdot x^1=x^{1+1}=x^2\)

\(x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5\)

Um das zu verstehen schreiben wir das zweite Beispiel mal aus.

\(x^2\cdot x^3=x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x=x^5=x^{2+3}\)

Falls du nochmal das Rechnen mit Potenzen wiederholen möchtest kannst du dass hier tun


Regel

Variablen werden multipliziert indem man ihre Exponenten addiert.

\(x^n\cdot x^m=x^{n+m}\)


Wie kann man Variablen dividieren?

Man dividiert Variablen in dem man ihre Exponenten von einander abzieht.

Beispiele Variablen dividieren:

\(\frac{x}{x}=x^{1-1}=x^0=1\)

\(\frac{x^3}{x^2}=x^{3-2}=x^1=x\)

\(\frac{x^5}{x^3}=x^{5-3}=x^2\)


Regel

Variablen werden dividiert indem man ihre Exponenten voneinander abzieht.

\(\frac{x^n}{x^m}=x^{n-m}\)


Zur Übung kannst du die nächsten Aufgaben lösen. Dein Ergebnis kannst du mit dem Schritt für Schritt Rechner von Simplexy überprüfen.

Aufgaben:

  • \(4a+2a=\)
  • \(4a+4a^2+a^2=\)
  • \(2x-4x=\)
  • \(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=\)
  • \(2x^2+5x-x^2-(5+2)x=\)
  • \(\bigl((3+4)\cdot x-(4-2)\cdot x\bigr)\cdot x-x^2=\)
  • \(\frac{x^3}{x}\cdot x+\frac{1}{2}x=\)