Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion


Scheitelpunkt Rechner

Mit dem Parabelrechner von Simplexy kannst du ganz simple die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen, eine Parabel zeichnen lassen und uvm.



Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion





Eine quadratischen Funktion kann über zwei Arten ausgedrückt werden. Es gibt die Normalform einer Parabel und es gibt die Scheitelpunktform einer Parabel. Jede quadratische Funktion kann in beiden Formen angegeben werden. Hat man eine quadratische funktion in der Normalform gegeben, so kann man diese umwandeln in die Scheitelpunktform. Eine umwandlung von der Scheitelpunktform in die Normalform ist ebenfalls möglich. Das Aussehen der Parabel ist unabhängig davor wie man die quadratische Funktion angibt, es sind ledigleich zwei verschiebene Schreibweisen für die gleiche Parabel.


Normalform und Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

  • Scheitelpunktform:
    \(f(x)=a(x+d)^2+e\)


  • Normalform:
    \(f(x)=ax^2+bx+c\)



Der Vorteil der Scheitelpunktform (oft auch Scheitelform genannt) liegt darin, dass man den Scheitelpunkt der Parabel direkt ablesen kann.

Scheitelpunktform einer quadratischen Funtion

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet:

Scheitelpunktform:
\(f(x)=a(x\textcolor{blue}{+}\textcolor{red}{d})^2\textcolor{green}{+e}\)

Die Koordinaten des Scheitelpunktes können direkt abgelesen werden. Der Scheitelpunkt befindet sich bei:

\(S(\textcolor{blue}{-}\textcolor{red}{d}|\textcolor{green}{e})\)



Achtung!

Ein \(\textcolor{blue}{+}\textcolor{red}{d}\) in der Scheitelpunktform führt dazu das der \(x\)-Wert des Scheitelpunkts bei \(\textcolor{blue}{-}\textcolor{red}{d}\) liegt. Hier ist es mit den Vorzeichen genau umgekehrt. Mehr dazu im Video und in den Beispielen...

Im unteren Bild ist der Scheitelpunkt einer links verschobenen Parabel (blau) und einer nach rechts verschobenen Parabel (rot) dargestellt.



Beispiel 1

Gegeben ist die folgende quadratische Funktion in der Scheitelpunktform.

\(f(x)=-2(x\textcolor{blue}{-}\textcolor{red}{2})^2\textcolor{green}{+2}\)

Wie lauten die Koordinaten des Scheitelpunktes?

Der Scheitelpunkt kann direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden,
er ist demnach: \(S(\textcolor{red}{2}|\textcolor{green}{2})\)

In der folgenden Abbildung ist die Funktion und der Scheitelpunkt dargestellt.

Beispiel 2

Gegeben ist die folgende quadratische Funktion in der Scheitelpunktform.

\(f(x)=(x\textcolor{blue}{+}\textcolor{red}{1})^2\)

Bestimme den Scheitelpunkt?

Man kann den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform sofort ablesen,
er ist demnach: \(S(\textcolor{red}{-1}|0)\)

In der folgenden Abbildung ist die Funktion und der Scheitelpunkt dargestellt.

Beispiel 3

Gegeben ist die folgende quadratische Funktion in der Scheitelpunktform.

\(f(x)=\frac{1}{2}x^2\textcolor{green}{-4}\)

Wie lauten die Koordinaten des Scheitelpunktes?

Man kann die Koordinaten vom Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform ablesen,
er ist demnach: \(S(\textcolor{red}{0}|\textcolor{green}{-4})\)

In der folgenden Abbildung ist die Funktion und der Scheitelpunkt dargestellt.

Scheitelpunkt berechnen über die Normalform

Wie bereits erwähnt muss eine quadratische Funktion nicht in der Scheitelpunktform angegeben werden. Eine quadratischen Funktion kann auch über die Normalform ausgedrückt werden. Dabei handelt es sich nur um eine andere Schreibweise zur Scheitelpunktform. Man kann zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform hin und her wechseln.

Im allgemeinen wird eine quadratische Funktion in der Normalform über
\(f(x)=ax^2+bx+c\) ausgedrückt. Der unterschied zur Scheitelpunktform liegt an dem Term \(bx\). Über die Normalform kann man die Koordinaten des Scheitelpunktes nicht einfach ablesen. Hier muss man den Scheitelpunkt berechnen.

Der Scheitelpunkt einer Parabel kann mit einer allgemeinen Formel berechnet werden. Für eine allgemeine quadratische Funktion der Form
\(f(x)=ax^2+bx+c\) befindet sich der Scheitelpunkt bei den Koordninaten:

\(S(\,\,\,\frac{-b}{2a}\,\,\,|\,\,\,\frac{4ac-b^2}{4a}\,\,\,)\)


Regel:

Der Scheitelpunkt einer quatradischen Funktion der Form
\(f(x)=ax^2+bx+c\) berechnet sich über


\(S(\,\,\,\frac{-b}{2a}\,\,\,|\,\,\,\frac{4ac-b^2}{4a}\,\,\,)\)

Beispiel 4

Die Funktion \(f(x)=-2x^2+8x-6\) ist eine Parabel in der Normalform, die gleiche Parabel in der Scheitelpunkt wäre die Parabel aus Beispiel 1. Sie lautet in der Scheitelpunkt form
\(f(x)=-2(x-2)^2+2\). Verwende die obere Formel um den Scheitelpunkt der Parabel zu berechnen und vergleiche das Ergebnis mit dem Scheitelpunkt aus Beispiel 1.


Der Scheitelpunkt berechnet sich über die Formel:

\(S(\,\,\,\frac{-b}{2a}\,\,\,|\,\,\,\frac{4ac-b^2}{4a}\,\,\,)\)

Die gegebene Funktion lautet:
\(f(x)=-2x^2+8x-6\) damit ist
\(a=-2\), \(b=8\) und \(c=-6\). Die Werte können nun in die Formel für den Scheitelpunkt eingesetzt werden.

\(S(\,\,\,\frac{-8}{-2\cdot 2}\,\,\,|\,\,\,\frac{4\cdot 2\cdot 6-8^2}{-4\cdot 2}\,\,\,)=S(2|2)\)

Genau wie in Beispiel 1 befindet sich der Scheitelpunkt bei \(S(2|2)\). Es handelt sich bei der Funktion \(f(x)=-2x^2+8x-6\) und \(f(x)=-2(x-2)^2+2\) um die gleiche Parabel, nur einmal in der Normalform und einmal in der Scheitelpunktform ausgedürckt.