Der Hall-Effekt


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Halleffekt

Ladungstärger die sich durch ein Magnetfeld bewegen stehen wie wir jetzt wissen unter dem Einfluss der LorentzKraft, der Betrag der Lorentzkraft ist sowohl von der Geschwindigkeit der Ladungstärger als auch von der Stärke des Magnetfeldes abhängig. Werden Ladungsträger durch die Lorentzkraft getrennt, so kann man eine elektrische Spannung erzeugen, findet eine Ladungstrennung aufgrund der Lorentzkraft statt, so wird diese Spannung Hall-Spannung genannt. Der Name kommt von ihrem Entdecker Erwin-Hall

Erwin Hall war ein US-amerikanischer Physiker der entdeckte, dass ein stromdurchflossener Leiter, der sich in einem Magnetfeld befindet, eine elektrische Spannung aufbaut. Diese sogenannte Hall-Spannung entsteht senkrecht zur Stromrichtung und zur Magnetfeldrichtung.



In der oberen Abbildung sieht man einen stromdurchflossenen Leiter, die Negativen Ladungsträger fließen von Links nach Rechts. Der Leiter befindet sich in einem Magnetfeld dessen Magnetfeldlinien in die Bildschirmebende zeigen. Da es sich hierbei um bewegte Ladungsträger in einem Magnetfeld handelt, wirkt auf ihnen zunächst die Lorentzkraft. Diese Lenkt die Elektronen nach der Drei-Finger-Regel nach unten ab, dadurch finden sich auf der unteren Seite des Leiters mehr Elektronen als auf der oberen Seite. Man kann die untere Seite als negativ geladen betrachten. Auf der oberen seite des Leiters sind im vergleich zur unteren Seite weniger Elektronen, im Bezug auf die untere Seite ist die obere Seite als positiv geladen zu betrachten. Zwischen der oberen und der unteren Seite herrscht ein Ladungsunterschied, es bildet sich eine elektrische Spannung.

Je mehr Elekronen auf die untere Seite abgelenkt werden, desto höher wird die Hall-Spannung. Je mehr Elektronen auf der unteren Seite sind desto schwerer wird es für weitere Elektronen dort hinzugelangen. Früher oder Später bildet sich ein Gleichgewicht zwischen der Lorentzkraft \(F_L\) welche die Elektronen nach unten ablenkt und der elektrischen Kraft \(F_E\) welche die Elektronen nach ober ablenkt.

Hall-Spannung berechnen

Die Hall-Spannung wird gemessen nach dem sich ein Gleichgewicht zwichen der Lorentzkraft und der elektrischen Kraft bildet:

\(F_{E}=F_{L}\)

\(e\cdot E=e\cdot v\cdot B\,\,\,\,\,\,|\div e\)

\(E=v\cdot B\)

\(\frac{U_{hall}}{h}\)\(=v\cdot B\)

\(U_{hall}=v\cdot B\cdot h\)

Nun müssen wir einen Weg finden mit dem wie die Geschwindigkeit \(v\) der Elektronen bestimmen dazu betrachten wir die Gesamtladung im Leiter.

Die Gesamtladung \(Q\) im Leiter ergibt sich aus:

\(Q=N\cdot e\)

Wobei \(N\) die Gesamtzahl der Elektronen im Leiter ist und \(e\) die Ladung eines Elektrons ist (Elementarladung).

Dies kann man nun in die Formel \(I=\frac{Q}{t}\) der Stromstärke einsetzen dabei muss man beachten, dass die Zeit \(t\) gerade die Zeit ist, die ein Elektron benötigt um den Leiter der Länge \(l\) zu durchfließen, also gilt:

\(t=\)\(\frac{l}{v}\)

\(I=\)\(\frac{Q}{t}=\frac{N\cdot e\cdot v}{l}\)

Diese Gleichung können wir nun nach \(v\) umstellen und dann in die Gleichung für \(U_{hall}\) einsetzen:

\(v=\)\(\frac{I\cdot l}{N\cdot e}\)

Einsetzen von \(v\) in \(U_{hall}\) liefer:

\(U_{hall}=\)\(\frac{I\cdot l}{N\cdot e}\)\(\cdot B\cdot h\)

Im Prinzip hat man nun bereits die Formel für die Hall-Spannung, in den Leerbüchern findet man aber oft eine Formel in der das Volumen des Leiters steht. Die erhält man indem man unsere Gleichung für \(U_{hall}\) auf beiden Seiten mit der Dicke \(d\) des Leiters multipliziert:

\(U_{hall}\cdot d=\)\(\frac{I\cdot l}{N\cdot e}\)\(\cdot B\cdot h\cdot d\)

Nun kann man \(l\cdot h\cdot d\) auf der rechten Seite mit dem Volumen \(V\) des Leiters ersetzen:

\(U_{hall}\cdot d=\)\(\frac{I\cdot V}{N\cdot e}\)\(\cdot B\)

Damit Folgt:

\(U_{hall}=\)\(\frac{I\cdot V}{N\cdot e\cdot d}\)\(\cdot B\)

Oftmals ist es einfacher die Ladungsdichte \(n\) in einem Leiter anzugeben als die Gesamtzahl an Ladungsträgern \(N\). Für die Ladungsträgerdichte gilt:

\(n=\)\(\frac{N}{V}\)

Dies können wir nun in die Formel für \(H_{hall}\) ersetzen:

\(U_{hall}=\)\(\frac{1}{n\cdot e}\frac{IB}{d}\)

Formel der Hall-Spannung

\(U_{hall}=\)\(\frac{1}{n\cdot e}\frac{IB}{d}\)

Dabei ist:

  • \(I\) die Stromstärke

  • \(B\) die magnetische Flussdichte

  • \(d\) die Dicke des Leiters

  • \(n\) die Ladungsträgerdichte (eine Materialkonstante)

  • \(e\) die Ladung der Ladungsträger im Leiter



Den Faktor \(\frac{1}{n\cdot e}\) nennt man Hall-Konstante \(A_H\), man kann die Formel für die Hall-Spannung kompakter darstellen:

\(U_{hall}=A_H\)\(\frac{IB}{d}\)


Hall-Sonde & Hall-Sensor

Mittels Hall-Spannung kann man die magnetische Flussdichte von Magnetfelder messen, man benötigt hierfür eine sogenannte Hall-Sonde oder auch Hall-Sensor genannt.



Ein Hall-Sensor besteht aus sehr dünnen dotierten Halbleiter-Schichten, diese haben seitlich vier Elektroden, der Aufbau ist äquivalent zu der oben dargestellten Skizze. Über zwei Elektroden wird ein Strom eingespeist, die zwei senkrecht dazu liegenden Elektroden dienen zur Abnahme der Hall-Spannung. Wird ein Hall-Sensor in ein Magnetfeld positioniert, so ist die gemessene Hall-Spannung proportional zum Betrag des Vektorprodukts aus magntischer Flussdichte und Strom.