Reihenschaltung und Parallelschaltung


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Formeln Reihenschaltung

Reihenschaltung von Widerständen

\(R_{ges}=R_1+R_2+R_3+...\)

Verhalten des Stroms in einer Reihenschaltung

\(I_{ges}=I_1=I_2=I_3=...\)

Verhalten der Spannung in einer Reihenschaltung

\(U_{ges}=U_1+U_2+U_3+...\)




Formeln Parallelschaltung

Parallelschaltung von Widerständen

\(\frac{1}{R_{ges}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+...\)

Parallelschaltung von 2 Widerständen

\(R_{ges}\)\(=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\)

Verhalten des Stroms in einer Parallelschaltung

\(I_{ges}=I_1+I_2+I_3+...\)

Verhalten der Spannung in einer Parallelschaltung

\(U_{ges}=U_1=U_2=U_3=...\)


Reihenschaltung und Parallelschaltung erklärt



Stromkreise bestehen oftmals aus mehreren elektrischen Bauteilen. Sind beispielsweise mehrere Widerstände in einer Schaltung vorhanden, dann hängt der Gesamtwiderstand davon ab ob sie in Reihe oder Parallel geschaltet sind. Die frage ist nun, wie man bei einer Reihenschaltung und einer Parallelschaltung das Ohmsche Gesetz sinnvoll anwenden kann um den Gesamtwiderstand berechnen zu können. In diesem Artikel geht es also um die Reihenschaltung und der Parallelschaltung von Widerständen und Kondensatoren.


Zusatz Information

Solltest du die Begriffe Stromstärke, Spannung und Widerstand nochmal wiederholen wollen, dann kannst du das hier machen.

Für eine Wiederholung des Ohmschen Gesetzes, kannst du diesen Artikel durchlesen.



Reihenschaltung von Widerständen

In dem letzten Artikel über das Ohmsche Gesetz haben wir uns bereits mit einem Stromkreis beschäftigt, in dem mehrere Widerstände auftauchen. Sollest du in einem Schaltkreis Widerstände finden, in denen zwei oder mehr Widerstände hintereinander gereiht sind, dann spricht man von einer Reihenschaltung. Ein Beispiel für drei in Reihe geschalteten Widerständen findest du im unteren Bild.

In den meisten Fällen werden die Widerstände durch nummeriert, wie auch hier in diesem Beispiel. Sind Widerstände in Reihe geschaltet, so kann man sie zu einem Gesamtwiderstand zusammenfassen. Dazu werden die Widerstände addiert:

\(R_{Gesamt}=R_1+R_2+R_3\)

Dabei ist es egal ob zwei, drei, vier oder mehr Widerstände hintereinander geschaltet sind.

Reihenschaltung von Widerständen

\(R_{Gesamt}=R_1+R_2+R_3+...\)

Bei einer Reihenschaltung von Widerständen, besteht der Gesamtwiderstand aus der Summe aller Einzelwiderständen.



Reihenschaltung Stromstärke





Wie verhält sich die Stromstärke und die Spannung bei einer Reihenschaltung ?

Reihenschaltung Stromstärke

\(I_{ges}=I_1=I_2=I_3=...\)

Der Strom in einer Reihenschaltung ist in allen Widerständen gleich.


Handelt es sich um eine Reihenschaltung, dann fließt durch alle elektrischen Bauteile der gleiche Strom. Im Artikel Strom, Spannung und Widerstand haben wir bereits die Analogie zwischen Strom und Wasser benutzt. Bei einer Reihenschaltung gibt es nur ein Weg für das Wasser zu fließen (durch alle Bauteile), es gibt keine Verzweigung die dazu führt das sich das Wasser aufteilt.





In der nächsten Abbildung sieht man eine Verzwiegung, das Gesamtwasser \(Wasser_{ges}\) wird aufgeteilt auf beide Pfade sodass \(Wasser_{1}+Wasser_{2}=Wasser_{ges}\). Es handelt sich hierbei also um keine Reihenschaltung.



Reihenschaltung Spannung

Verhalten der Spannung in einer Reihenschaltung

\(U_{ges}=U_1+U_2+U_3+...\)

Bei einer Reihenschaltung teilt sich die Gesamtspannung \(U_{ges}\) auf. Aus der Summe der Teilspannungen kann die Gesamtspannung berechnet werden.



In einer Reihenschaltung wird zwischen der Gesamtspannung \(U_{ges}\) der Spannungsquelle und den Spannungsabfällen \(U_1,U_2,U_3,...\) and den Widerständen \(R_1,R_2,R_3,...\) unterschieden.

Reihenschaltung Ohmsches Gesetz

Ohmsches Gesetz in einer Reihenschaltung

\(I=\frac{U_{ges}}{R_{ges}}=\frac{U_{1}}{R_{1}}=\frac{U_{2}}{R_{2}}=\frac{U_{3}}{R_{3}}=...\)



Der Stom in einer Reihenschaltung ist überall gleich groß, sind die Widerstände alle unterschiedlich dann verursachen sie unterschiedliche Spannungsabfälle. Die Teilspannungen (\(U_1,U_2,U_3,..\)) verhalten sich entsprechend den zugehörigen Widerständen (\(R_1,R_2,R_3,..\)). Am größten Widerstand fällt also der Größte teil der Spannung ab und am kleinsten Widerstand fällt der kleinste Teil der Spannung ab. Die Teilspannungen stehen also im Verhälniss zu den Einzelwiderständen. Dementsprechend kann der Strom durch eine Reihenschaltung über die Gesamtspannung und dem Gesamtwiderstand oder über eine Teilspannung und dem zugehörigen Teilwiderstand berechnet werden.

Reihenschaltung Beispiel

Widerstand berechnen und Stromstärke berechnen

Betrachten wir den folgenden Stromkreis.
Die Widerstände haben folgende Werte: \(R_1=300\Omega\), \(R_2=200\Omega\) und \(R_3=500\Omega\).
Die Angelegte Spannung beträgt \(U=250V\).

Wie viel Strom fließt durch den Stromkreis ?

Lösung

Zunächst müssen wir den Gesamtwiderstand berechen:

\(R_{ges}=R_{1}+R_{2}+R_{3}\)

\(R_{ges}=R_1=300\Omega+200\Omega+500\Omega\)

\(R_{ges}=1000\Omega\)

Um nun auf den Strom zu kommen, verwenden wir die Formel
\(I_{ges}=\frac{U_{ges}}{R_{ges}}\)

\(I_{ges}=\frac{250V}{1000\Omega}\)

\(I_{ges}=0,25\frac{V}{\Omega}\)

\(I_{ges}=0,25A\)

Der Gesamtstrom der durch den Stromkreis fließt beträgt \(0,25\)Ampere

Reihenschaltung Kondensator

Werden in einem Schaltkreis Kondensatoren in Reihenschaltung betrieben, so musst die Kapazität \(C\) betrachtet werden.

Spannung Kondensator

Die Spannung an einem Kondensator lässt sich über die Kapazität und der Ladung \(Q\) des Kondensators berechnen:

\(\begin{aligned} U=\frac{Q}{C} \end{aligned}\)

In einer Reihenschaltung von Kondensatoren besteht die Gesamtspannung aus der Summe der einzelnen Teilspannungen.

\(\begin{aligned} U_{ges}=\frac{Q_1}{C_1}+\frac{Q_2}{C_2}+...+\frac{Q_N}{C_N} \end{aligned}\)

Die Stromstärke an jedem Kondensator entspricht der Gesamtstromstärke:

\(\begin{aligned} I_{ges}=I_1=I_2=...=I_N \end{aligned}\)

Der Kehrwert der Gesamtkapazität des Schaltkreises berechnet sich über die Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten:

\(\begin{aligned} \frac{1}{C_{ges}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+...+\frac{1}{C_N} \end{aligned}\)

Parallelschaltung

Sind in einem Schaltkreis Widerstände, welche parallel angeordnet sind, dann spricht man von einer Parallelschaltung.

Wie bei der Reihenschaltung auch, werden die Widerstände nummeriert. Bei einer Parallelschaltung kann man nur noch den Kehrwert des Gesamtwiderstands angeben. Für den Spezialfall von nur zwei parallelen Widerständen kann man die Formel für den Gesamtwiderstand umstellen.

Parallelschaltung von Widerständen

\(\frac{1}{R_{ges}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+...\)

Parallelschaltung von 2 Widerständen

\(R_{ges}\)\(=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\)

Bei einer Parallelschaltung von Widerständen, besteht der Kehrwert des Gesamtwiderstand aus der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände.




Hinweis

Bei einer Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Besteht die Parallelschaltung aus zwei identischen Widerständen, so entspricht der Gesamtwiderstand der Hälfte eines Teilwiderstandes. Je mehr Widerstände man parallel schaltet, desto kleiner wird der Gesamtwiderstand des Schaltkreises.


Parallelschaltung Stromstärke




Parallelschaltung Stromstärke

\(I_{ges}=I_1+I_2+I_3+...\)

Der Strom in einer Parallelschaltung teilt sich auf alle Widerstände auf.



Bei einer Parallelschaltung teilt sich der Gesamtstrom auf alle zweige auf. Für die Beschreibung des Strom wird oft die Analogie zu Wasser herangezogen. In einer Parallelschaltung hat das Wasser mehrere Wege (Zweige) zum fließen. Die gesamte Wassermenge teilt sich daher auf. Das gleich gilt für den Strom in einer Parallelschaltung.



Parallelschaltung Spannung

Bei einer Parallelschaltung sind die Spannungen an jedem Widerstand gleich groß. Dies liegt daran, dass alle Widerstände eine direkte Verbindung zur Spannungsquelle besitzen. Mehr dazu findest du in dem Video.

Parallelschaltung Spannung

\(U_{ges}=U_1=U_2=U_3=...\)

Bei einer Parallelschaltung haben alle Bauteile die gleiche Spannung nämlich die Gesamtspannung \(U_{ges}\).



Verhältnisse für zwei parallel Widerstände

Wir wissen nun, das alle Widerstände die gleiche Spannungen besitzen. Sind die Widerstände unterschiedlich groß, so führt dies dazu, dass die Teilströme unterschiedlich groß werden. Die Stromstärke der einzelnen Widerständen ist umgekehrt proportional zu ihren Widerständen. Durch einen großen Widerstand fließt weniger Strom als durch einen kleinen Widerstand.

Die Ströme \(I_1\) und \(I_2\) verhalten sich umgekehrt proportional zu ihren Widerständen.

\(\frac{R_1}{R_2}=\frac{I_2}{I_1}\)



Parallelschaltung Beispiel

Gesamtwiderstand berechnen

Betrachten wir den folgenden Stromkreis.
Die Widerstände haben folgende Werte: \(R_1=40\Omega\), \(R_2=10\Omega\).
Die Angelegte Spannung beträgt \(U=230V\).

  • Wie groß ist der Gesamtwiderstand des Stromkreises ?

  • Durch welchen Widerstand fließt der höhere Strom und um wie viel höher ist der Strom gegenüber dem anderen Widerstand ?

Lösung:

Zunächst berechnen wir den Gesamtwiderstand berechen:

\(R_{ges}\)\(=\frac{40\Omega\cdot 10\Omega}{40\Omega+10\Omega}\)

\(R_{ges}\)\(=\frac{400\Omega^2}{50\Omega}\)

\(R_{ges}=8\Omega\)

Der Gesamtwiderstand des Stromkreises beträgt 8 Ohm.

Da sich die Ströme umgekehrt zu den Widerständen verhalten, fließt durch den kleineren Widerstand \(R_2\) einen größern Strom als durch den Widerstand \(R_1\). Um den Strom zu berechnen der durch die Widerstände fließt, verwenden wir folgende Formel:
\(\frac{R_1}{R_2}=\frac{I_2}{I_1}\)

\(\frac{40\Omega}{10\Omega}\)\(=4\)

\(\implies \frac{I_2}{I_1}\)\(=4\)

\(\frac{I_2}{I_1}\)\(=4\,\,\,\,\,\,|\cdot I_1\)

\(I_2=4\cdot I_1\)

Durch den Widerstand \(R_2\) fließt vier mal so viel strom wie durch den Widerstand \(R_1\).

Möchte man wissen wie viel strom genau durch den Wiederstand \(R_2\) fließt, so kann man das Ohmsche Gesetz verwenden. Dabei muss man beachten, dass beide Widerstände aufgrund der Parallelschaltung die gleiche Spannung besitzen.

\(I_2\)\(=\frac{U}{R_2}\)

\(I_2\)\(=\frac{230V}{10\Omega}\)

\(I_2=23\)\(\frac{V}{\Omega}\)

\(I_2\)\(=23 A\)

Durch den Widerstand \(R_2\) fließt ein Strom von \(23\) Ampere.

Da wir schon berechnent haben, dass durch \(R_2\) vier mal soviel Strom fließt wie durch \(R_1\) wissen wir, dass

\(I_1=\)\(\frac{I_2}{4}\)

\(I_1=\)\(\frac{23A}{4}\)

\(I_1=5,75A\)

Durch den Widerstand \(R_1\) fließt ein Strom von \(5,75\) Ampere.

Parallelschaltung Kondensator

Hat man eine Parallelschaltung von Kondensatoren, so berechnet sich die Gesamtkapazität \(C_{ges}\) über die Summe der einzelnen Kapazitäten der Kondensatoren:

\(\begin{aligned} C_{ges}=C_1+C_2+...+C_N \end{aligned}\)