Bahngeschwindigkeit
Online Rechner mit Rechenweg
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Bahngeschwindigkeit einer Kreisbewegung
Ein Körper vollführt eine Kreisbewegung, wenn er sich entlang einer Kreisbahn mit festem Radius bewegt.
Um die Bahngeschwindigkeit berechnen zu können, nutzen wir die gleiche Formel für die Geschwindigkeit eines Körpers aus der Mechanik.
\(\begin{aligned} v=\frac{\Delta s}{\Delta t} \end{aligned}\)
Dabei ist \(\Delta s\) ein Streckenabschnitt und \(\Delta t\) eine Zeitspanne, welche vom Körper benötigt wird um den Streckabschnitt \(\Delta s\) zurück zu legen.
Bahngeschwindigkeit Formel
Für die Herleitung der Formel für die Bahngeschwindigkeit, nutzen wir als Streckabschnitt \(\Delta s\), eine volle Umrundung. Die Strecke \(\Delta s\) welche innerhalb einer vollen Umrundung zurück gelegt wird, entspricht dem Umfang \(U\) der Kreisbahn mit dem Radius \(r\).
\(\begin{aligned} U = 2\pi r \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \Delta s &=U\\ \\ \Delta s &=2\pi r \end{aligned}\)
Um die Formel für die Bahngeschwindigkeit berechnen zu können, benötigt man zusätzlich zum Streckabschnitt \(\Delta s\) noch den Zeitabschnitt \(\Delta t\) welcher benötigt wird, um \(\Delta s\) zurück zu legen. Da wir eine volle Umrundung betrachten, benötigt der Körper die Umlaufdauer \(T\). Damit gilt \(\Delta t=T\).
Für die Bahngeschwindigkeit folgt somit:
\(\begin{aligned} v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{2\pi r}{T} \end{aligned}\)
Wie man sieht, ist die Bahngeschwindigkeit abhängig vom Radius \(r\) der Kreisbahn.
Die Bahngeschwindigkeit kann auch über die Frequenz \(f\) ausgedrückt werden. Dazu verwendet man:
\(\begin{aligned} T&=\frac{1}{f} \end{aligned}\)
Für die Bahngeschwindigkeit folgt somit:
\(\begin{aligned} v&=\frac{2\pi r}{T}\\ \\ v&=2\pi rf \end{aligned}\)
Bahngeschwindigkeit Formel
Bahngeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Umlaufdauer:
\(\begin{aligned} v=\frac{2\pi r}{T} \end{aligned}\)
Bahngeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Frequenz:
\(\begin{aligned} v=2\pi rf \end{aligned}\)
Merke
Die Bahngeschwindigkeit ist vom Radius \(r\) der Kreisbahn abhängig.
Bahngeschwindigkeit und Radius der Kreisbahn
Um die Abhängigkeit der Bahngeschwindigkeit vom Radius leicht erklärt zu bekommen. Betrachten wir die untere Scheibe. Entlang der Scheibe sind Punkte abgebildet. Diese Punkte haben unterschiedliche Abstände zur Drehachse (Mittelpunkt).
Wird die Scheibe in Rotation gebracht, so bewegt sich jeder Punkt auf einer eignen Kreisbahn. Der Radius jeder Kreisbahn hängt davon ab, wie weit der Punkt vom Zentrum der Scheibe entfernt ist.
Alle Punkte besitzen die gleiche Umlaufdauer, sie müssen jedoch verschieden lange Strecken zurück legen. Punkte die weiter Außen liegen, müssen in einer Umlaufdauer einen längeren Weg zurück legen als Punkte die näher an dem Zentrum der Scheibe liegen.
Bahngeschwindigkeit
Die Bahngeschwindigkeit ist proportional zum Radius \(r\) der Kreisbahn.
Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit
Für die rotierende Scheibe haben alle Punkte die gleiche Winkelgeschwindigkeit.
Während der Rotation der Scheibe, bewegen sich alle Punkte auf einer Kreisbahn. Die Bahngeschwindigkeit der einzelnen Punkte ist vom Radius bzw. dem Abstand zur Drehachse (Mittelpunkt) abhängig. Die Winkelgeschwindigkeit ist jedoch für alle Punkte gleich groß. Innerhalb der gleichen Umlaufdauer, überstreichen alle Punkte einen Winkel von \(360^{\circ}\) bzw. \(2\pi\).
Die Formel für die Winkelgeschwindigkeit lautet:
\(\begin{aligned} \omega=\frac{2\pi}{T} \end{aligned}\)
Die Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig vom Radius \(r\). Die Formel für die Bahngeschwindigkeit und die Formel für die Winkelgeschwindigkeit unterscheiden sich lediglich über die proportionalität mit dem Radius \(r\). Daher gilt der zusammenhang:
Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit zusammenhang
\(\begin{aligned} v&=\omega \cdot r\\ \\ \omega&=\frac{v}{r} \end{aligned}\)