Winkelgeschwindigkeit
Online Rechner mit Rechenweg
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Winkelgeschwindigkeit einer Kreisbewegung
Ein Körper vollführt eine Kreisbewegung, wenn er sich entlang einer Kreisbahn mit festem Radius bewegt. Für die Beschreibung der Kreisbewegung ist die Winkelgeschwindigkeit von großer Bedeutung. Die Winkelgeschwindigkeit ist eine physikalische Größe, mit der eine Kreisbewegung beschrieben werden kann. Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) gibt die zeitliche Änderung eines Winkels \(\varphi\) an.
\(\begin{aligned} \omega=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t} \end{aligned}\)
Dabei ist \(\Delta \varphi\) ein Winkel und \(\Delta t\) eine Zeitspanne, welche vom Körper benötigt wird um den Winkel \(\Delta \varphi\) zu überstreichen.
Winkelgeschwindigkeit
Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, um wie viel Grad sich ein Winkel \(\varphi\) innerhalb einer bestimmten Zeit \(t\) ändert.
\(\begin{aligned} \omega=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t} \end{aligned}\)
Oft wird die Winkelgeschwindigkeit auch Rotationsgeschwindigkeit oder Drehgeschwindigkeit genannt.
Ist die Winkelgeschwindigkeit konstant, so spricht man von einer gleichförmigen Kreisbewegung.
Winkelgeschwindigkeit Einheit
Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit wird in Bogenmaß angegeben. Statt \(\frac{grad}{s}\) zu verwenden, wird die Winkelgeschwindigkeit in \(\frac{rad}{s}\) angegeben.
Winkelgeschwindigkeit Einheit
Die Winkelgeschwindigkeit wird in Bogenmaß angegeben.
Winkelgeschwindigkeit Formel
Für die Herleitung der Formel für die Winkelgeschwindigkeit, nutzen wir als Winkel \(\Delta \varphi\), eine volle Umrundung. Der Winkel \(\Delta \varphi\) welcher innerhalb einer vollen Umrundung überstrichen wird, entspricht \(360^{\circ}\). Wie bereits erwähnt, wird die Winkelgeschwindigkeit in Bogenmaß angegeben, daher verwendet man für eine volle Umrundung den Winkel \(2\pi\).
\(\begin{aligned} \Delta \varphi &=2\pi\\ \end{aligned}\)
Um die Formel für die Winkelgeschwindigkeit berechnen zu können, benötigt man zusätzlich zum überstrichenen Winkel \(\Delta \varphi\) noch den Zeitabschnitt \(\Delta t\) welcher benötigt wird, um den besagten Winkel \(\Delta \varphi\) zu überstreichen. Da wir eine volle Umrundung betrachten, benötigt der Körper die Umlaufdauer \(T\). Damit gilt \(\Delta t=T\).
Für die Winkelgeschwindigkeit folgt somit:
\(\begin{aligned} \omega=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}=\frac{2\pi}{T} \end{aligned}\)
Die Winkelgeschwindigkeit kann auch über die Frequenz \(f\) ausgedrückt werden. Dazu verwendet man:
\(\begin{aligned} T&=\frac{1}{f} \end{aligned}\)
Für die Bahngeschwindigkeit folgt somit:
\(\begin{aligned} \omega&=\frac{2\pi }{T}\\ \\ \omega&=2\pi rf \end{aligned}\)
Winkelgeschwindigkeit Formel
Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Umlaufdauer:
\(\begin{aligned} \omega=\frac{2\pi }{T} \end{aligned}\)
Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Frequenz:
\(\begin{aligned} \omega=2\pi f \end{aligned}\)
Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit
Betrachtet man einen rotierenden Körper, Beispielsweise eine Scheibe, so besitzt die gesamte Scheibe die gleiche Winkelgeschwindigkeit. Die Winkelgeschwindigkeit ist anders als die Bahngeschwindigkeit nicht vom Radius abhängigkeit.
Während einer Umrundung der Scheibe, bewegen sich alle Punkte auf einer Kreisbahn. Die Bahngeschwindigkeit der einzelnen Punkte ist vom Radius bzw. dem Abstand zur Drehachse (Mittelpunkt) abhängig. Die Winkelgeschwindigkeit ist jedoch für alle Punkte gleich groß. Innerhalb der gleichen Umlaufdauer, überstreichen alle Punkte einen Winkel von \(360^{\circ}\) bzw. \(2\pi\).
Die Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig vom Radius \(r\). Die Formel für die Bahngeschwindigkeit und die Formel für die Winkelgeschwindigkeit unterscheiden sich lediglich über die proportionalität mit dem Radius \(r\). Daher gilt der zusammenhang:
Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit berechnen
\(\begin{aligned} v&=\omega \cdot r\\ \\ \omega&=\frac{v}{r} \end{aligned}\)
Winkelgeschwindigkeit Beispiel Aufgabe
Beispiel 1
Ein Riesenrad benötigt für eine Umdrehung \(5\) Minuten.
Berechne die Winkelgeschwindigkeit des Riesenrads.
Zunächst müssen wir die Umlaufdauer vom Riesenrad in Sekunden umrechnen.
\(\begin{aligned} T=5\,min=5\cdot\,60\,s=300\,s \end{aligned}\)
Nun verwenden wir die folgende Formel um die Winkelgeschwindigkeit berechnen zu können:
\(\begin{aligned} \omega=\frac{2\pi}{T} \end{aligned}\)
Damit folgt für die Winkelgeschwindigkeit:
\(\begin{aligned} \omega=\frac{2\pi}{300s}=0,021\frac{1}{s} \end{aligned}\)
Beispiel 2
Ein Hamster läuft in seinem Rad und führt zu einer Winkelgeschwindigkeit von \(12,5\frac{1}{s}\). Wie lange dauert eine Umrundung vom Hamsterrad?
Gesucht ist die Umlaufdauer des Hamsterrads. Dazu stellen wir die folgende Formel nach der Umlaufdauer \(T\) um.
\(\begin{aligned} \omega&=\frac{2\pi}{T}\\ \\ &\implies\\ \\ T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}\)
Nun können wir die Umlaufdauer berechnen, indem wir die bekannte Winkelgeschwindigkeit einsetzten.
\(\begin{aligned} T=\frac{2\pi}{12,5\frac{1}{s}}=0,5s \end{aligned}\)
Das Hamsterrad benötigt eine halbe Sekunde für eine Umrundung.